Principe des tiroirs
Bonjour, connaissez-vous des exemples simples et "spectaculaires" de l'applications du principe des tiroirs de Dirichlet?
par exemple, j'ai beaucoup apprécié la démo de l'existence d'au moins 2 personnes qui possèdent exactement le meme nombre de cheveux en France utilisant ce principe
Merci beaucoup
par exemple, j'ai beaucoup apprécié la démo de l'existence d'au moins 2 personnes qui possèdent exactement le meme nombre de cheveux en France utilisant ce principe
Merci beaucoup
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Réponses
Ah je viens de voir que le sujet titrait "hors-maths" donc tu cherches surement des exemples dans le genre de celui que tu as donné (tu montres ca comment d'ailleurs?)
J'identifie les cheveux aux tiroirs et le nombre de français (60 millions) aux chaussettes, et comme il y a plus de français que de tiroirs (cheveux) , forcément il va avoir au moins un tiroir (cheveux) qui va contenir au moins un français (je ne sais pas si j'ai été clair là)
Petite précision, je suis lycéen, il est possible que je n'ai pas bien compris le principe quand mon prof me l' expliqué, ça m'a fasciné, alors n'hésitez pas à donner d'autres exemples à la portée d'un TS svp...si c'est possible...et à me corriger si je fais fausse route
merci
Je savais pas que t'étais au lycée, mon exemple du début n'est pas adapté.
Mais je peux quand meme te donner la définition d'un nombre transcendant, c'est sympathique aussi :un nombre transcendant (sur $\Q$), c'est un réel qui n'est pas racine d'un polynome à coefficients dans $\Q$
Des exemples de non transcendants , c'est facile tous les rationnels mais aussi les trucs du genre $\sqrt(2)$ qui est racine de $X^2-1$..
Des exemples de transcendants, il y a $\pi$ ou $e$ mais c'est assez dur à montrer vu qu'il faut montrer qu'il n'existe pas de polynome $P$ à coefficients dans $\Q$ tel $P(\pi)=0$
Le truc que je racontais dans mon premier post a pour but de construire des nombres transcendants (les nombres de Liouville).
je crois me souvenir que j'utilisais le principe des tiroirs dans une UE d'informatique, j'essaierais de retrouver ca et de voir si c'est pas un truc difficile.
Dans chercher : "principe des tiroirs",on obtient 4 pages de "best of", rien que dans la dernière année, dont:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,309592,309593#msg-309593}
\lien {http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,347697,347697#msg-347697}
(Ne cliquez pas si vous préférez chercher)
On considère 20 cubes en pierre dont les arrêtes s'échelonnent de 1cm en 1cm à partir de 5cm. Montrer que l'on peut construire deux tas distincts de même hauteur.
Il me semble qu'historiquement le premier nombre transcendant est $\sum \frac{1}{10^{n!}}$, et c'était bien une histoire d'approximation rationnelle.
En effet, si on se donne $k$ un entier, $x$ un réel (sans autre hypothèse) et $(\frac{p_n}{q_n})_n$ une suite de rationnels qui est toujours différente que $x$ et telle que $|x-\frac{p_n}{q_n}|=o(\frac{1}{q_n^k})$, alors $x$ est transcendant.
La démo de ce critère peut se faire par l'absurde en se donnant $P \in \Z[X]$ annulant $x$ et de degré $k$ et en considérant la suite $u_n=q_n^kP(\frac{p_n}{q_n})$, on montre que ce truc est une suite d'entiers non nuls qui converge vers $0$ d'où la contradiction !
On vient de montrer que $x$ ne peut être algébrique de degré $k$ et $k$ est arbitraire donc...
Sauf erreur vu que je tape ça direct en latex donc ce n'est pas un gage de rigueur.
Bon, tout ça est bien éloigné de la question initiale 8-)
Sur l'ensemble des fonctions mesurables de [0;1] dans R (pour la mesure de Lebesgue) peut-on trouver une topologie dont les suites convergentes soient exactement les suites qui convergent presque partout.
Je pense que c'est faux mais je n'arrive pas à le démontrer. Si quelqu'un a une idée ou une référence ce serait cool.
ps : désolé pour les fautes d'orthographe
$$d(f,g):=\int_{[0,1]} \frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}dx$$
définit bien une distance sur les fonctions mesurables. Si $f_n$ converge presque partout vers $g$, on a bien $d(f_n,g)\to0$. Réciproquement, si $d(f_n,g)\to0$, de toute sous-suite $(f_{\phi(n)})_n$, on peut extraire une nouvelle sous-suite $(f_{\phi\circ\psi(n)})_n$ qui converge presque partout vers $g$.
2°) C'est (vraiment) faux, en gros justement parce qu'on ne peut pas faire mieux que ce qui précède. En effet:
- a) Dans un espace métrique, on a équivalence entre :
(*) - $f_n\to g$
(**) - de toute suite extraire $f_{\phi(n)}$, on peut extraire une sous-suite $f_{\phi(\psi(n))}$ convergeant vers $g$.
- b) (**) n'implique pas (*) pour la convergence presque partout. Un contre exemple classique est le suivant: pour $n=2^k+p$ avec $0\le p<2^k$ ($k$ et $p$ existent et sont uniques, donc définissent des fonctions de la variable entière $n$), on pose
$$f_n=1_{[p2^{-k},(p+1)2^{-k}[}$$
$f_n$ vérifie (**) avec $g=0$, mais ne converge en aucun point vers $0$.
Trois cent personnes font la queue devant un bloc de trois cents tiroirs fermés numérotés de un à trois cent
1 la première pers ouvre tous les tiroirs
2 la 2 ferme tous les tiroirs qui portent un numéro pair
3 la 3 s'intéresse aux tiroirs dont les numéro sont des multiples de 3 : si un tel tiroir est ouvert elle le ferme, si il est fermé elle l'ouvre
4 la 4 s'intéresse aux tiroirs dont les numéro sont des multiples de 4 : pareille que la 3
5 s'intéresse aux tiroirs dont les numéro sont des multiples de 5
ET ainsi de suite jusqu'à 300 personnes.
Combien y a-t-il de tiroirs ouvert et quels sont-ils ?
Merci de répondre car c'est pour vendredi.
Tu as deux points de vue (disons un bon et un mauvais):
- Celui d'un tiroir.
- Celui d'une personne.
Tu peux poser $300 = n$, ce n'est pas plus compliqué.
amicalement,
e.v.
Pouvez-vous être plus explicite?
Je me souviens de cette réponse (dans un autre forum (:P))
http://www.espacemath.com/clubroi.htm
Alain
\[\forall n\in\mathbb N^*,\; \sum_{k=1}^n \left[\dfrac nk\right] - \sqrt n \in 2\mathbb Z. \]
où $[x]$ désigne la partie entière de $x$.
amicalement,
e.v.
Tiens, une preuve que $\sqrt{2}$ est entier?
Cordialement,
*************
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?
où $[x]$ désigne la partie entière de $x$.
Je regrette.
e.v.
En parcourant le livre "raisonnements divins" j'ai lu une application du principe des tiroirs à la résolution d'un problème. C'est tout simplement génial !
Soit a(0),...a(n) une suite de n+1 nombres entiers distincts ou non.
Il existe toujours deux entiers i et j positifs ou nuls tels que la somme a(i)+a(i+1)+...+a(i+j) est divisible par n.
J'ai un exercice à faire concernant le principe des tiroirs, sauf que l'on a jamais étudié ce principe. Pourriez vous m'aidez s'il vous plais ?
Je vous écris ci dessous le sujet:
- Déterminer le nombre de façons de ranger quatre petits livres différents dans trois grands tiroirs. ( est ce qu'il y aura au moins un des tiroirs qui va contenir plus d'un livre ?, y a t'il une formule mathématique de probabilité là dessus ? )
- Répondre à la même question pour deux livres différents dans trois grands tiroirs.
Merci de votre aide
Cet énoncé n'a rien à voir avec ce que l'on appelle le principe des tiroirs ...
Difficile de t'aider à répondre sans savoir ce que tu es supposé connaître. Une partie de tes questions est du dénombrement. Seule la question "est ce qu'il y aura au moins un des tiroirs qui va contenir plus d'un livre ?" relève du principe des tiroirs, qui est la mathématisation de "S'il y a plus de livres que de tiroirs, un des tiroirs en contiendra au moins 2", corolaire du théorème qui dit que deux ensembles finis en bijection ont le même nombre d'éléments (*).
Cordialement.
(*) pour un ensemble fini parce que en bijection avec la partie $[1;n]$ de $\mathbb N$, le nombre d'éléments est $n$.
Comment peut-on répondre à cette question ?
Donne-nous l'énoncé complet, qu'on comprenne. Et éventuellement le contexte (quelle formation, quel niveau,...).
Cordialement.
Edit : Après réflexion, le mot suivante ne veut probablement pas dire question suivante dans l'énoncé (ce que j'avais compris), mais question que je vais poser. Donc question de Serkan.
Cordialement.
(livres petits et tiroirs grands) = on a le droit de mettre autant de livre que l'on veut dans n'importe quel tiroir. Ceci étant sans doute précisé pour éviter les : «Mais monsieur, dans mon tiroir je n'arrive pas à mettre plus de 2 livres moi !»
On peint l'espace en trois couleurs. D une longueur, montrer qu'il existe au moins deux points distants de D qui soient de la même couleur.
Mais alors pourquoi perdre son temps avec 3 pots de peinture ? (:P)
Je pense que cette fois j'ai trouvé la solution ! (grâce au détail que mon prof. m'a donné)
a) Déterminer le nombre de façons de rangers 4 petits livres différents dans 3 grands tiroirs.
Réponse: arrangement avec n=4 et p=3 soit A3.4= 24 façons de ranger ces 4 petits livres dans 3 grands tiroirs.
b) Réponde à la même question pour 2 livres différents dans 3 grands tiroirs
Réponse: arrangement avec n=3 et p=2 soit A2.3= 6 façons de ranger les 2 livres dans 3 grands tiroirs
N.B.: chaque tiroir ne peut recevoir qu'un seul livre
Est ce que c'est correct ?
Essaie !
Tu as les livres A, B, C et B et les tiroirs 1, 2 et 3. Où mets-tu chacun des livres ?
Le livre A dans le tiroir ..
Le livre B dans le tiroir ..
Le livre C dans le tiroir ..
Le livre D dans le tiroir ..
Je n'ai fait que lire ce que tu as écrit !
3!= 3x2x1=6 puis pour le 4eme on fait comment ..? 3!x3 ?
Bruno
1- Déterminer le nombre de façons de ranger quatre petits livres différents dans trois grands tiroirs.
2- Répondre à la même question pour deux livres différents dans trois grands tiroirs.
On est d'accord . Et aussi sur le fait qu'on peut ranger plusieurs livres, éventuellement tous dans le même tiroir, quel que soit le tiroir.
Dans ce cas :
1- On fait la liste des livres, et on attribue à chacun un numéro de tiroir, celui où il sera rangé. Donc on fabrique une liste ordonnée de numéros de tiroirs, avec répétition possible. Le nombre de ces listes est ..
2 - pas de changement, sauf que la liste n'a que deux termes.
Cordialement.
A noter qu'il n'y a rien à voir avec le principe des tiroirs dans cet exercice, comme le disait du début Eric (qui avait mieux décodé le message initial que moi).. Rien non plus avec le forum logique, puisque c'est du dénombrement.
Mais sinon dans le cas que vous aviez cité, ce seras une "p liste" (j'ai appris cela comme ça) avec 4^3= 64, mais le problème est que chaque tiroir ne peut recevoir qu'un seul livre. Il y aura donc un livre qui ne sera pas dans un tiroir.
Bon, inutile de continuer. Si c'est un exercice pour la classe, tu verras la correction avec ton prof. De l'exercice qu'il voulait donner, puisque cet énoncé n'a pas de sens.
Cordialement.
Redonne un énoncé précis et ta façon de le traiter.