sum[(zeta(k)-1)/k,k>1]

C'est du même acabit que
$$\sum_{k \geq 2}(\zeta(k)-1) = 1.$$

Par comparaison classique de la série et de l'intégrale, on a, pour tout entier $k \geq 2$ :
$$\dfrac{\zeta(k) - 1}{k} = \dfrac{1}{k}\sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{n^k} \leq \dfrac{1}{k}\int_{1}^{+\infty} \dfrac{dt}{t^k} = \dfrac{1}{k(k-1)}$$
et la série de terme général $\left(\dfrac{\zeta(k) - 1}{k}\right)_{k \geq 2}$ converge.

On peut écrire (les séries sont absolument sommables) :
$$\sum_{k \geq 2} \dfrac{\zeta(k) - 1}{k} = \sum_{k \geq 2} \sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{kn^k} = \sum_{n \geq 2} \sum_{k \geq 2} \dfrac{1}{kn^k} = \sum_{n \geq 2} \left[ - \ln\left(1-\dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{n}\right].$$

La somme partielle de cette dernière série est
$$S_p = - \sum_{n = 2}^p \ln\left(\dfrac{n-1}{n}\right) - \sum_{n = 2}^p\dfrac{1}{n} = \ln(p) - H_p +1,$$
en notant $H_p$ la somme partielle de la série harmonique, et il vient finalement :
$$\sum_{k \geq 2} \dfrac{\zeta(k) - 1}{k} = \lim_{p\rightarrow\infty} 1 - [H_p - \ln(p)] = 1 - \gamma.$$

On peut étudier la série entière $\sum \dfrac{\zeta(k) - 1}{k}x^k$...

Elle converge normalement sur $[-1,1]$ puisque $\sum \dfrac{\zeta(k) - 1}{k}$ converge ...

Bonsoir,

avec la méthode déjà indiquée, on trouve l'expression littérale de la série proposée par gb :

Salut JJ, et bonne année.

Je n'avais pas vu que cette question m'était destinée, mais gb et toi avez parfaitement répondu et bien complété la question initiale. Je n'ai rien à ajouter.

A +

Borde.

Mauvais exemple : $\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ est tout ce qu'il y a de plus connu.

Expression littérale = expression avec des lettres, ce qui est bien le cas.

Lorsque j'écris $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{2n!} = \left\{\begin{array}{ll} \cosh\sqrt{x} & \text{\ si\ } x \geq 0 \\ \cos\sqrt{-x} & \text{\ si\ } x \leq 0 \end{array}\right.$,
je donne une expression littérale. $\Gamma(2-x)$ est tout aussi connu que $\cosh\sqrt{x}$ ou $\cos\sqrt{-x}$.

Je redonne la même réponse que précédemment : $ \Gamma(4/3)$ est tout aussi connu que $\cos(4/3)$. Je ne vois pas où est le problème.

$\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \int_0^{\infty} t^{-1/2}e^{-t}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-u^2}\,du$
avec $u = t^{1/2}$.

$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\dfrac{\zeta(k)}{k} = \gamma$ est exact.

Bonsoir,

Les échanges précédents m'ont amenés à quelques réflexions "philosophiques", ce qui est un bien grand mot.
Qu'est-ce qui est connu, qu'est-ce qui n'est pas connu ? That is the question!
Certains théorèmes, certaines propriétés, certaines fonctions, certaines constantes sont considérées comme connues par les uns et inconnues par les autres. Tout dépend du niveau de connaissances mathématiques.
Ainsi, lorsqu'un problème est posé sur le forum, on ne sait pas, à-priori, sur quelles connaissances connues (du poseur de la question) on peut s'appuyer pour démarrer la démonstration.
Parfois, on arrive à subodorer le niveau par la façon dont la question est rédigée et ainsi, à donner une réponse adaptée à ce niveau.
Comme le dit très justement "gb", beaucoup de propriétés et valeurs particulières de la fonction Gamma sont considérées comme trivialement connues à un certain niveau. Il suffit de prendre la peine de regarder quelques ouvrages, ou quelques pages sur la toile pour avoir déjà un éventail assez fourni. Par exemple :
<http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html&gt;
<http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html&gt;
<http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html&gt;
<http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html&gt;
Mais,d'un autre point de vue, les demandes de "&" sont aussi tout à fait justifiées : il souhaiterait savoir comment ces connaissances connues ont été démontrées. Très bien.
Le malheur est qu'à ce petit jeu, le risque est de remonter à Mathusalem.
Bon courage à "&" qui avance sur le long chemin de la culture mathématique concernant les fonctions spéciales : un chemin dont, même les plus "cultivés" n'ont pas la prétention d'en voir le bout. Et heureusement : ce serait triste qu'il ait un bout.