Pour racine des cheveux ... je sais que sa parrai con de dire les en plus mais je suis quand même désolé que le en plus il est roumain a une signifaction non négligeable du moins pour la majorité des roumains ayant traversé llg ... mais bon c'est vrai peut etre auraije du mettre que : en plus c'est dospinescu ... et là sa prend encore plus de signification ...
je ne m'explique pas pourquoi on a fermé l'ancien topic mais bon
les modérateurs eux aussi sont humains, ils ont leurs moments d'errement
enfin voilà moi aussi j'ai un roumain qui est violent dans ma classe mais je crois que tout le monde s'en fout (si si!)
sur ce, si on reprenait la discussion sur ce sujet?
j'apprécierais des eclaircissements sur la 15 b (la formule avec les 3^n)
mon annotation montre ma question...
est ce qu'il s'agit du cardinal de $SL_n(\Z/_{3\Z})$ parce que je vois pas du tout comment calculer ce brave entier...
J'ai fermé ton précédent fil parcequ'il y avait déjà plus de 20 messages ne traitant pas de mathématiques avant que les énoncés n'apparaissent, grâce à toi.
Comme un nouveau fil démarrait sur le sujet, j'ai pensé (ai-je eu tort ?) qu'il était préférable de continuer de manière plus mathématique, sur ce nouveau sujet.
Il n'est pas possible de conserver 2 fils distincts traitant du même sujet, sinon très rapidement les messages sont recopiés identiques sur les deux fils.
Bonsoir !
Il s'agit bien du cardinal de $ SL_n(\Z/3\Z) $, pour le calculer on commence par calculer le cardinal de $ GL_n(\Z/3\Z) $. Un élément de $ GL_n(\Z/3\Z) $ correspond à une base du $\Z/3\Z$-espace vectoriel $(\Z/3\Z)^n$. Pour le premier vecteur de la base, on a le choix entre $3^n - 1$ vecteurs (on enlève le vecteur nul). Pour le 2e vecteur, on ne peut pas prendre les 3 vecteurs colinéaires au premier vecteur choisi, on a donc $3^n - 3$ possibilités. Pour le 3e vecteur on ne peut pas prendre les 9 vecteurs du sev engendré par les 2 premiers vecteurs choisis, donc on a $3^n - 3^2$ possibiltés.... Pour le dernier vecteur on a $ 3^n -3^{n-1} $ possibilités. On a donc $ \# GL_n(\Z/3\Z) = (3^n-1)(3^n - 3)\dots (3^n - 3^{n-1})$. On en déduit le cardinal de $ SL_n(\Z/3\Z) $ en disant que $ SL_n(\Z/3\Z) $ est le noyau de $ \det : GL_n(\Z/3\Z) \to (\Z/3\Z)^* $, dont l'image est de cardinal 2.
Est-ce que ça fait bien partie du programme de spé de savoir que si on a un morphisme f:G->H entre deux groupes finis, alors |Im(f)| = |G| / |Ker(f)| ?
Ca peut se démontrer sans le théorème d'isomorphisme ?
C'est vrai que dans le programme c'est écrit que le seul groupe quotient à connaître est $\Z/n\Z$ et que dans la section « groupes » il y a juste « Définition du produit de deux groupes. Définition d'une partie génératrice d'un groupe », donc ce théorème ne doit pas être au programme.
On peut montrer que $ SL_n(\Z/3\Z) $ a le même cardinal que l'ensemble des matrices de déterminant 2 de $ GL_n(\Z/3\Z) $ en construisant une bijection entre ces deux ensembles. Il suffit de choisir $a \in GL_n(\Z/3\Z)$ avec $\det a = 2$, et de considérer l'application $ SL_n(\Z/3\Z) \to GL_n(\Z/3\Z), x \mapsto ax $, elle est injective et son image est l'ensemble des matrices de déterminant 2 de $GL_n(\Z/3\Z)$. On en déduit que $ \#GL_n(\Z/3\Z) = 2\# SL_n(\Z/3\Z) $.
Ce sujet avait l'air vraiment très très interessant !
Le meilleur, c'est que pas plus tard que cette semaine, je suis tombé sur un exo d'oral d'Ulm : "Montrer que tous les sous-groupes de $SL_2 (\Z )$ sont d'ordre 1,2,3,4,6 ou infini. Montrer qu'il existe une infinité d'éléments de chaque ordre". Bref, pile poil la question 8 (mais sans les détails...).
Le hasard fait bien les choses
Cet exo d'oral m'a fait me poser une question : ici, on nous de demande de vérifier l'ordre des sous-groupes. Mais si on ne nous demandait pas de vérifier, mais de trouver les ordres possibles pour un sous groupe de $SL_2(\Z )$, comment devrait-on procéder ?
J'ai posé la question à mon prof, mais il n'a pas su me répondre (c'est rare !)...
Le poulpe : apparamment tu y as répondu. Comment t'y es-tu pris ? Qu'as tu pensé du sujet ? Visiblement, tu en as fait une grande partie : c'est "normal" ou bien il est rare d'en faire autant (je pensait que dépasser la 5e question sur un sujet de Ulm c'est pas mal)?
Pour la question 6b, il n'y a pas beaucoup plus bête que la récurrence et l'utilisation de la question 4 ?
En effet, vu que $\phi_{n,p}$ est un morphisme de groupes, il suffit de montrer qu'un ensemble de générateurs du groupe $SLn (\Z/p\Z)$ est dans l'image de $\phi_{n,p}$. Or, la méthode du pivot de Gauss (valable sur n'importe quel corps, donc sur $\Z/p\Z$) nous dit que $SL_n(\Z/p\Z)$ est engendré par les matrices de transvections. Et les matrices de transvections sont clairement dans l'image de $\phi_{n,p}$.
Non ?
pour ce que j'ai fait du sujet je ne sais pas si c'est normal ou pas, je suis plutôt bon pendant l'année
après il faudra voir la note, j'ai assez mal rédigé
ce que je pense du sujet : j'en était content parce que d'habitude je n'aime pas l'algèbre générale (plutôt analyste) et j'ai quand même réussi à m'en tirer pas trop mal
après il y a des questions que je ne comprends pas trop comme celle ou il a le fameux 5760 dont on ne voit pas trop la provenance...
la question 20 aussi me dépasse un peu, et la dernière de la deuxième partie aussi...
D'apr\`es la question ci-dessus $g$ divise $40\times78\times72\times54=2^8\times3^6\times5\times13$. De plus d'apr\`es 12. b) $g$ divise $8!=2^7\times3^2\times5\times7$. Donc $g$ divise 5760 ($5760=2^7\times3^2\times5=pgcd (2^8\times3^6\times5\times13,2^7\times3^2\times5\times7)$).
Pour la derniere question (20), c'est une des plus simple :
Soit $G=\mathrm{SL}_n(\Z)$ (qui est engendr\'e par une partie finie d'apr\`es 5.) et $u~:~G \to G$ un morphisme de groupe surjectif. Posons $H=\mathrm{SL}_n(\Z/3\Z)$ et $v=\varphi_{n,3}$ d\'efini \`a la question 6. D'apr\`es 15. a) $v$ est injectif, donc d'apr\`es 19. b) $u$ est injectif donc bijectif.
bonjour à tous;
Je suis en mp* et mon prof m'a donné ce sujet en devoir maison et je bloque sur la question 4 de la patrie I ;
donc je voulais savoir si certains d'entre ne pourraient pas me fournir quelques pistes pour cette question.
merci d'avance
ps: je reposerai sans doute d'autres questions car je suis un peu dépassé par le sujet.
pour la question 4, remarque que les opérations élémentaires permettent d'ajouter des colonnes les unes aux autres, elles permettent aussi d'échanger deux colonnes.
Le cas n=2 se traite ainsi en utilisant l'algorithme d'Euclide, puis tu raisonnes par récurrence sur n en utilisant l'associativité du PGCD.
en utilisant l'algorithme d'euclide on a u*a1 + v*a2 = d;
cependant il me semble que les opérations élémentaires ne permettent pas de passer de la matice ligne (u*a1,v*a2) à par exemple (d,d) mais simplement à (d, v*a2)...
bref je ne vois pas comment conclure pour obtenir (d,0).
Les opérations élémentaires te permettent de passer de $(a1,a2)$ à $(u. a1+v. a2, a2)$ donc à $(d,a2)$. Ensuite, comme $d$ divise $a2$, on passe de $(d,a2)$ à $(d , a2 - \frac{a2}{d} . d)=(d,0)$.
Réponses
<BR>
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=286654&t=286654"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=286654&t=286654</a><BR><BR><BR>
les modérateurs eux aussi sont humains, ils ont leurs moments d'errement
enfin voilà moi aussi j'ai un roumain qui est violent dans ma classe mais je crois que tout le monde s'en fout (si si!)
sur ce, si on reprenait la discussion sur ce sujet?
j'apprécierais des eclaircissements sur la 15 b (la formule avec les 3^n)
mon annotation montre ma question...
est ce qu'il s'agit du cardinal de $SL_n(\Z/_{3\Z})$ parce que je vois pas du tout comment calculer ce brave entier...
J'ai fermé ton précédent fil parcequ'il y avait déjà plus de 20 messages ne traitant pas de mathématiques avant que les énoncés n'apparaissent, grâce à toi.
Comme un nouveau fil démarrait sur le sujet, j'ai pensé (ai-je eu tort ?) qu'il était préférable de continuer de manière plus mathématique, sur ce nouveau sujet.
Il n'est pas possible de conserver 2 fils distincts traitant du même sujet, sinon très rapidement les messages sont recopiés identiques sur les deux fils.
Alain
Il s'agit bien du cardinal de $ SL_n(\Z/3\Z) $, pour le calculer on commence par calculer le cardinal de $ GL_n(\Z/3\Z) $. Un élément de $ GL_n(\Z/3\Z) $ correspond à une base du $\Z/3\Z$-espace vectoriel $(\Z/3\Z)^n$. Pour le premier vecteur de la base, on a le choix entre $3^n - 1$ vecteurs (on enlève le vecteur nul). Pour le 2e vecteur, on ne peut pas prendre les 3 vecteurs colinéaires au premier vecteur choisi, on a donc $3^n - 3$ possibilités. Pour le 3e vecteur on ne peut pas prendre les 9 vecteurs du sev engendré par les 2 premiers vecteurs choisis, donc on a $3^n - 3^2$ possibiltés.... Pour le dernier vecteur on a $ 3^n -3^{n-1} $ possibilités. On a donc $ \# GL_n(\Z/3\Z) = (3^n-1)(3^n - 3)\dots (3^n - 3^{n-1})$. On en déduit le cardinal de $ SL_n(\Z/3\Z) $ en disant que $ SL_n(\Z/3\Z) $ est le noyau de $ \det : GL_n(\Z/3\Z) \to (\Z/3\Z)^* $, dont l'image est de cardinal 2.
Ca peut se démontrer sans le théorème d'isomorphisme ?
On peut montrer que $ SL_n(\Z/3\Z) $ a le même cardinal que l'ensemble des matrices de déterminant 2 de $ GL_n(\Z/3\Z) $ en construisant une bijection entre ces deux ensembles. Il suffit de choisir $a \in GL_n(\Z/3\Z)$ avec $\det a = 2$, et de considérer l'application $ SL_n(\Z/3\Z) \to GL_n(\Z/3\Z), x \mapsto ax $, elle est injective et son image est l'ensemble des matrices de déterminant 2 de $GL_n(\Z/3\Z)$. On en déduit que $ \#GL_n(\Z/3\Z) = 2\# SL_n(\Z/3\Z) $.
des bergers (mais n'est pas au programme de spé).
Bon j'avais jamais vu ça donc vu qu'il me restait 1/2h j'ai bien fait de ne pas le toucher
Sinon d'ou sort ce 5760??
Je n'ai pas trop compris
Merci
Le meilleur, c'est que pas plus tard que cette semaine, je suis tombé sur un exo d'oral d'Ulm : "Montrer que tous les sous-groupes de $SL_2 (\Z )$ sont d'ordre 1,2,3,4,6 ou infini. Montrer qu'il existe une infinité d'éléments de chaque ordre". Bref, pile poil la question 8 (mais sans les détails...).
Le hasard fait bien les choses
Cet exo d'oral m'a fait me poser une question : ici, on nous de demande de vérifier l'ordre des sous-groupes. Mais si on ne nous demandait pas de vérifier, mais de trouver les ordres possibles pour un sous groupe de $SL_2(\Z )$, comment devrait-on procéder ?
J'ai posé la question à mon prof, mais il n'a pas su me répondre (c'est rare !)...
Le poulpe : apparamment tu y as répondu. Comment t'y es-tu pris ? Qu'as tu pensé du sujet ? Visiblement, tu en as fait une grande partie : c'est "normal" ou bien il est rare d'en faire autant (je pensait que dépasser la 5e question sur un sujet de Ulm c'est pas mal)?
Merci
Donc personne n'a une petite idée ?
En effet, vu que $\phi_{n,p}$ est un morphisme de groupes, il suffit de montrer qu'un ensemble de générateurs du groupe $SLn (\Z/p\Z)$ est dans l'image de $\phi_{n,p}$. Or, la méthode du pivot de Gauss (valable sur n'importe quel corps, donc sur $\Z/p\Z$) nous dit que $SL_n(\Z/p\Z)$ est engendré par les matrices de transvections. Et les matrices de transvections sont clairement dans l'image de $\phi_{n,p}$.
Non ?
pour ce que j'ai fait du sujet je ne sais pas si c'est normal ou pas, je suis plutôt bon pendant l'année
après il faudra voir la note, j'ai assez mal rédigé
ce que je pense du sujet : j'en était content parce que d'habitude je n'aime pas l'algèbre générale (plutôt analyste) et j'ai quand même réussi à m'en tirer pas trop mal
après il y a des questions que je ne comprends pas trop comme celle ou il a le fameux 5760 dont on ne voit pas trop la provenance...
la question 20 aussi me dépasse un peu, et la dernière de la deuxième partie aussi...
Pour le fameux 5760, (question 15.c))
D'apr\`es la question ci-dessus $g$ divise $40\times78\times72\times54=2^8\times3^6\times5\times13$. De plus d'apr\`es 12. b) $g$ divise $8!=2^7\times3^2\times5\times7$. Donc $g$ divise 5760 ($5760=2^7\times3^2\times5=pgcd (2^8\times3^6\times5\times13,2^7\times3^2\times5\times7)$).
Pour la derniere question (20), c'est une des plus simple :
Soit $G=\mathrm{SL}_n(\Z)$ (qui est engendr\'e par une partie finie d'apr\`es 5.) et $u~:~G \to G$ un morphisme de groupe surjectif. Posons $H=\mathrm{SL}_n(\Z/3\Z)$ et $v=\varphi_{n,3}$ d\'efini \`a la question 6. D'apr\`es 15. a) $v$ est injectif, donc d'apr\`es 19. b) $u$ est injectif donc bijectif.
Eric
merci!
Je suis en mp* et mon prof m'a donné ce sujet en devoir maison et je bloque sur la question 4 de la patrie I ;
donc je voulais savoir si certains d'entre ne pourraient pas me fournir quelques pistes pour cette question.
merci d'avance
ps: je reposerai sans doute d'autres questions car je suis un peu dépassé par le sujet.
pour la question 4, remarque que les opérations élémentaires permettent d'ajouter des colonnes les unes aux autres, elles permettent aussi d'échanger deux colonnes.
Le cas n=2 se traite ainsi en utilisant l'algorithme d'Euclide, puis tu raisonnes par récurrence sur n en utilisant l'associativité du PGCD.
Merci à unplk d'avoir fait remonter le sujet,
M M
en utilisant l'algorithme d'euclide on a u*a1 + v*a2 = d;
cependant il me semble que les opérations élémentaires ne permettent pas de passer de la matice ligne (u*a1,v*a2) à par exemple (d,d) mais simplement à (d, v*a2)...
bref je ne vois pas comment conclure pour obtenir (d,0).
merci d'avance pour vos explications
peio
a bientot