Définition et Si et seulement SI
Bonjour,
Dans les cours (et dans les devoirs également) d'Analyse du CNED pour la préparation au CAPES, beaucoup de définitions sont écrites avec un "si et seulement si".
Un exemple parmis tant d'autres: "(...) on dit que la fonction f est logarithmiquement convexe sur I si et seulement si la fonction ln f est convexe sur I."
L'année dernière, les profs de l'IUFM nous avaient dit qu'à notre niveau, les "si et seulement si" ne voulaient strictement rien dire dans une définition...
Merci de me donner votre avis !
Dans les cours (et dans les devoirs également) d'Analyse du CNED pour la préparation au CAPES, beaucoup de définitions sont écrites avec un "si et seulement si".
Un exemple parmis tant d'autres: "(...) on dit que la fonction f est logarithmiquement convexe sur I si et seulement si la fonction ln f est convexe sur I."
L'année dernière, les profs de l'IUFM nous avaient dit qu'à notre niveau, les "si et seulement si" ne voulaient strictement rien dire dans une définition...
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Réponses
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=319879&t=319409>
le ssi s'applique entre deux relations pour dire qu'elles sont logiquement équivalentes.
Une définition revient à donner un nom à une relation,il n'y a donc q'une seule relation l'application du ssi n'est donc pas justifiée.
Cordialement
Dans l'exemple, on a la relation unaire en f "est ln convexe" : LnCvx(f)
et la relation unaire en f : Cvx(ln f ) où Cvx est la relation "est convexe"
On est bien obligé, une fois introduite une nouvelle relation, d'ajouter un axiome à notre langage qui est : Cvx( ln f) ssi LnCvx( f)
pour au final que les deux langages ait la même sémantique.
l'argument de toutoune n'est pas très convaincant : chaque fois que l'on rencontre Lncvx(f), on remplace mentalement par cvx(ln(f)) et il n'y a effectivement pas de ssi. (conseil de Blaise Pascal
Par contre, que se passe-t-il avec les définitions "récursives" comme on en rencontre souvent dans l'étude des langages ?
Exemple basique : j'ai un alphabet de deux symboles, une lettre "a" et un signe fonctionnel "f" d'arité 2. Dans l'ensemble M des mots (suites finies construites avec ces symboles), je définis la propriété "x est un terme" par :
x est un terme ssi
a) ou bien x est la lettre a,
b) ou bien x est le mot "fyz" où y et z sont des termes.
Cette définition est parfaitement légitime (on démontre facilement qu'il existe une unique partie T de M vérifiant pour tout x, x€T ssi (x=a ou il existe y,z € T et x = f y z). La relation "x est un terme" est alors x € T.
Je serais curieux de savoir de quelle relation Liautard pense que "x est un terme" est le nom et qui permettrait de se passer du ssi !
L’addition est binaire, le signe est unaire.
Si on coupe les cheveux en quatre, on peut très bien dire que l’addition est ternaire (c’est une relation entre trois termes, par exemple 1+2=3 est vraie alors que 1+2=4 est fausse).
-- Schnoebelen, Philippe
X est un terme est une manière d' abreger la conjonction de a) ou b)
On ne peut dire que
x est un terme ssi a) ou b) est une relation,c'est une définition
Cordialement
Pour bien comprendre mon argument, il faut comprendre que dans une formalisation des mathématiques dans une langage du premier ordre, il n'y a pas de définition de nouvelles relations ! Les relations sont données par le langage, adjoindre une nouvelle relation c'est changer de langage. Donner une nouvelle relation, c'est définir un langage L' sur-ensemble d'un langage L. Cependant, on souhaite que ces deux langages exprime la même chose, d'où la nécessiter de définir une transformation inversible d'un langage dans l'autre, qui fasse "commuter" les démonstrations (informellement : D = T D' T^-1 ) . Pour cela, le deuxième langage doit bien contenir un nouvel axiome de la forme "nouvelle relation de L' ssi ancienne relation dans L".
Bon, j'avoue cet argumentation est de mon fait, mais c'est la seule façon pour moi de bien comprendre ce que veut dire une "définition".
X est un terme est une manière d' abreger la conjonction de a) ou b)
Le problème, et c'est le sens de mon exemple, c'est que "... est un terme" apparaît dans b). Cela semble donc difficile d'accepter qu'une abréviation soit donnée pour une expression qui contienne cette abréviation.
Le problème est en fait de savoir si les mathématiques sont formelles, ou formalisables. Je pense que beaucoup diront qu'elles sont formelles, mais ne pratiquent que des mathématiques formalisables.
En la théorie des ensembles par exemple, on est régulièrement confronté à l'énoncé
$\forall x (x \in a \Rightarrow \Rightarrow x \in b)$ ; considérons alors le statut de l'énoncé $a \subset b$.
Si l'on fait des mathématiques formelles, cet énoncé ne fait pas partie du langage du langage de la théorie des ensembles, mais d'un nouveau langage, et il faut un axiome (au moins) pour pouvoir le manipuler. Ce sera évidemment
$$a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x \in a \Rightarrow \Rightarrow x \in b)$$
Si l'on se contente de mathématiques formalisables, on dira que $a \subset b$ est une abréviation de $\forall x (x \in a \Rightarrow \Rightarrow x \in b)$, abréviation fort utile pour cause de lisibilité (exactement comme lorsque l'on écrit "st." pour "saint"). Il faut alraos faire l'exercice fastidieux d'écrire explicitement quelques énoncés en éliminant toutes les abréviations, pour rester "formalisable".
Dans la pratique courante, on n'écrit un texte mathématique ni en langage formel, ni en langage formalisable (= formel avec abréviation), mais essentiellement en français (ou en chinois si l'on est chinois).
On ne cherche donc pas à définir un symbole relationne d'arité 2, l'inclusion, mais l'usage que l'on entend réserver, dans un texte mathématique, à l'expression "est inclus dans".
Je reprend la synthèse proposée par bs sur le triangle rectangle. Il y a une différence essentielle entre
le barbu rasé:............un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
GuYem........................un triangle est dit rectangle si il possède un angle droit.
Sigma.........................un triangle est rectangle lorsqu'il a un angle droit.
ezize 1........................un triangle rectangle est dit d'un triangle ayant un angle droit.
ezize 2........................un triangle ayant un angle droit est dit triangle rectangle.
ezize 3........................un triangle ayant un angle droit est appelé triangle rectangle.
qui ne sont différentes façons d'expliciter la même idée en français du même genre que
le loup mange l'agneau {\it vs} l'agneau est mangé par le loup.
et
caractérisation:..........un triangle est rectangle ssi il vérifie l'égalité de Pythagore.
où l'on donne, par le "ssi" une équivalence mathématique entre deux énoncés, que l'on ne se donne pas la peine d'écrire formellement.
geo va dans ce sens lorsqu'il écrit :
une fonction croissante sur est une fonction qui vérifie $\forall x,y \in I \ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$
il indique comment énoncer, en français, une propriété formelle.
Toutefois, je lui signale que, en bon français, une fonction croissante satisfait à la propriété $\forall x,y \in I \ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$ ; c'est le mathématicien (le pauvre) qui doit se payer la vérification afin de pouvoir asserter l'expression française correspondante.
"si et seulement si" est pris comme synonyme de "est équivalent à".
A partir de là, dans la définition d'une notion N par un ensemble de propriétés P, ça n'a pas vraiment de sens de dire "N est équivalent à la réalisation de P", puisque, N n'étant pas "encore" défini, le sens direct de l'équivalence énoncée n'a aucun sens
Pour le dire autrement, l'assertion "si N, alors on a les propriétés P" n'a pas de sens, puisque N n'a pas encore de sens.
En revanche, "si P, alors on dira que N" a un sens, puisque les propriétés P ont, elles un sens.
Je ne sais pas si je suis clair ?
Bon en tout cas, c'est effectivement de la sodomie des diptères, comme dit gb, cela dit c'est bien d'en être conscient quand même...
Donc il faut faire gaffe de ne pas froisser le jury ou alors d'avoir un argumentaire béton comme celui de GG ou toutoune ...
Pour le dire autrement, l'assertion "si N, alors on a les propriétés P" n'a pas de sens, puisque N n'a pas encore de sens.
En revanche, "si P, alors on dira que N" a un sens, puisque les propriétés P ont, elles un sens".
Quel fatras. Tout ça pour dire qu'un triangle est rectangle s'il a un angle droit.