Nombres algébriques

Archange · October 2006

Quelle est la structure de l'ensemble des nombres algébriques réels ?
Si x est algébrique réel et q rationnel, alors qx est algébrique réel.
Qu'en est-il du produit et de la somme de deux nombres algébriques ?
Merci de vos réponses.

jaybe · October 2006

C'est un corps, bien que ce ne soit pas tout à fait évident. Pareil dans le cas complexe.

Archange · October 2006

Comment le montre-t-on?

jaybe · October 2006

Il faut voir que le produit et la somme de deux nombres algébriques sont encore algébriques. Avec la théorie de Galois, c'est facile : si $x_1$ et $y_1$ sont algébriques, si $\{x_i\}_{i \in I}$ et $\{y_j\}_{j \in J}$ sont les conjugués algébriques de $x$ et de $y$, alors $P_+ (X) = \prod_{i \in I,j \in J} (X-x_i-y_j)$ et $P_{\times} (X)= \prod_{i \in I,j \in J} (X-x_iy_j)$ sont à coefficients entiers et admettent respectivement $x_1+y_1$ et $x_1y_1$ pour racines.

lolo33 · October 2006

et sans Galois :

Lemme : x est algébrique sur K ssi K(x) est un K -espace vectoriel de dimension finie.

Si a et b sont algébriques sur K alors
K(a,b) / K est de dimension K(a,b)/K(a) multiplié par K(a)/K donc finie.

Or K(a+b) et K(ab) sont contenus dans K(a,b) d'où le résultat (niveau L1 suffit de connaître les résultats de bases sur les espaces vectoriels).

lolo

jaybe · October 2006

Effectivement, c'est plus simple ainsi.

Archange · October 2006

Pardonnez mon inculture,mais en Licence je n'ai jamais étudié d'espaces vectoriels notés K(x). Le cours d'algèbre portant sur les groupes. Mais il est possible que les programmes aient changé depuis.
Pourriez-vous donc me dire ce que signifie K(x) ?
Encore désolé.
Merci d'avance.

nicolas.patrois · October 2006

C’est l’ensemble des fractions rationnelles sur un corps.

Archange · October 2006

Je connaissais K(X) (X majuscule),mais pas K(x) (x minuscule désignant un nombre).

grandwazoo · October 2006

Si $x$ appartient à un surcorps de $K$, $K(x)$ est le corps engendré par $x$, i.e. le plus petit corps contenant $x$ (tu as dû voir ces notions avec un groupe, ou un espace vectoriel). On montre facilement que $K(x)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires (à coefficients dans $K$) des $x^{j}, j\in\Z$.
A ne pas confondre avec un corps de fractions rationnelles, $x$ étant ici un élément fixe et non une indéterminée.

nicolas.patrois · October 2006

Gah, my bad.

Toto.le.zero · October 2006

grand wazzo, tu as raison sauf que les xj sont dans Q et pas dans j.

grandwazoo · October 2006

>toto : pourquoi dans Q ? Est-ce que tu veux dire que $x^{1/2}\in K(x)$ ?

Toto.le.zero · October 2006

pardon j'ai dis n'imprte quoi, je pensais que tu disais que les coefficients étaient valeurs dans Z, ils sont bien à valeurs dans K bien entendu.

lolo33 · October 2006

granwazoo : pour les combinaisons ce n'est vrai que si x est algébrique sur K (et alors des exposants entiers suffisent), sinon K(x) = { P(x)/ Q(x) où P et Q parcourent K[X] et Q(x) non nul } (pense à 1/(x+1) !)

propriété : x algébrique sur K si et seulement si K[x] = K(x) .

[Corrigé selon ton indication. AD]

lolo33 · October 2006

je voulais écrire K(x) = { P(x)/ Q(x) où P et Q parcourent K[X] et Q(x) non nul}

Dhia Garbaya · January 2022

Il y a une preuve matricielle de la stabilité des entiers algébriques complexes par puissance:
Donnons nous a1 un entier algébrique complexe et P=(X-a1)^m1....(X-ar)^mr de degré n dans Z[X].
Montrons que F=(X-a1^k)^m1....(X-ar^k)^mr appartient à Z[X] aussi pour tout entier k>0.
Soit Cp la matrice compagnon de P. Cp appartient à Mn(Z). De plus, elle est C-trigonalisable. En écrivant ceci on trouve que Sp(Cp^k) = {a1^k,...,ar^k) avec les mêmes multiplicités mi.
Donc le polynôme caractéristique de Cp^k est bien F qui est donc à coeffcients entiers car Cp^k l'est aussi.
On vient de montrer que a1^k est un entier algébrique pour tout entier k>0.

Poirot · January 2022

Je pense qu'Archange est heureux d'avoir droit à cette démonstration, équivalente à la preuve par dimension finie, 15 ans après !

Nombres algébriques

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