Une leçon qui évolue (interne)
Bonjour
La leçon "Parties connexes de $\R$ et théorème des valeurs intermédiaires. Exemples et applications." est devenu "Théorème des valeurs intermédiaires. Applications."
Qu'en pensez-vous ?
J'imagine que le jury ne veut plus que cette leçon soit centrée sur les parties connexes. Mais alors, faut-il en parler quand même ou pas du tout ?
Votre avis m'interesse.
a+
La leçon "Parties connexes de $\R$ et théorème des valeurs intermédiaires. Exemples et applications." est devenu "Théorème des valeurs intermédiaires. Applications."
Qu'en pensez-vous ?
J'imagine que le jury ne veut plus que cette leçon soit centrée sur les parties connexes. Mais alors, faut-il en parler quand même ou pas du tout ?
Votre avis m'interesse.
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Réponses
Tout $x\in\left]0\,,1\right[$ peut s'écrire sous la forme $0,a_{1}a_{2}a_{3}\dotsc$, où $a_{i}\in\{0,1\}$, $i\in\mathbb{N}^{*}$. Dans le cas où $x$ admet deux développements binaires distincts, on choisit celui ayant une infinité de chiffres égaux à $1$. Soit $f\colon\left]0\,,1\right[\longrightarrow[0\,,1]$ la fonction définie par
\begin{equation*}
f(x)=\varlimsup_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
\end{equation*}
Prouver que $f$ est discontinue en tout point $x\in\left]0\,,1\right[$ mais vérifie néanmoins la propriété des valeurs intermédiaires.
J'ai ni le temps ni l'envie de rédiger. Est ce vrai?
Grumph !
Pour la peine, je te la repourris en t'indiquant que tu devrais chercher du côté des fonctions de Darboux appartenant à la première classe de Baire pour avoir des propriétés vraiment sympathiques à mettre dans ta leçon. Et si tu veux vraiment te la jouer devant le juri, tu peux même faire le lien avec les fonctions approximativement continues et attaquer les théorèmes de Maximoff (mais là, c'est vraiment si tu assures comme une bête).
Au fait, je l'ai déjà l'agrég (interne).
Merci donc pour les pistes, je vais me renseigner sur les théorèmes de Maximoff (c'est son vrai nom ou un pseudo ?)
a+
Tu peux aussi chercher du côté de la fonction de Croft pour un exemple vraiment "pourri" de fonction de Darboux (qui a le bon goût d'être nulle presque partout sur $]0,1[$, différente de la fonction nulle, d'être Baire 1, mais qui n'est pas une dérivée et n'est pas approximativement continue).
Sinon, pour une permière approche sur les fonctions DB1, tu peux regarder : \lien{http://eom.springer.de/D/d120030.htm}.
Par contre, le premier exemple que j'ai donné est parfaitement abordable à l'oral de l'interne (je peux poster une rédaction de l'exo au besoin).
Inutile, je m'en suis rendu compte tout seul ;-)
"permet de montrer dans la discussion avec le juri qui suit le développement que l'on possède une culture mathématique même si on n'est pas capable de faire les démonstrations"
Tout à fait d'accord.
Lors de ma leçon sur les nombres premiers ils m'ont posés une question destinée à savoir si je connaissais le théorème de Dirichlet. Ils ont effectivement apprécié que je le connaisse bien qu'étant incappable de le démontrer évidemment
a+
Le rapport est-il sorti ?
Comment savez-vous les modifs de leçon ?
Qui veut bosser l'agreg avec moi sur Paris ?
Ecrire à gausspi 'at' yahoo.fr
a+
Merci
Epsilon.