Une leçon qui évolue (interne)

Sisbai · September 2006

Bonjour

La leçon "Parties connexes de $\R$ et théorème des valeurs intermédiaires. Exemples et applications." est devenu "Théorème des valeurs intermédiaires. Applications."

Qu'en pensez-vous ?
J'imagine que le jury ne veut plus que cette leçon soit centrée sur les parties connexes. Mais alors, faut-il en parler quand même ou pas du tout ?

Votre avis m'interesse.
a+

Eric · September 2006

Cela me fait penser à un charmant exercice.

Tout $x\in\left]0\,,1\right[$ peut s'écrire sous la forme $0,a_{1}a_{2}a_{3}\dotsc$, où $a_{i}\in\{0,1\}$, $i\in\mathbb{N}^{*}$. Dans le cas où $x$ admet deux développements binaires distincts, on choisit celui ayant une infinité de chiffres égaux à $1$. Soit $f\colon\left]0\,,1\right[\longrightarrow[0\,,1]$ la fonction définie par
\begin{equation*}
f(x)=\varlimsup_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
\end{equation*}
Prouver que $f$ est discontinue en tout point $x\in\left]0\,,1\right[$ mais vérifie néanmoins la propriété des valeurs intermédiaires.

corentin · September 2006

J'ai même l'impression à vue de nez que pour tout $x,\varepsilon$ on a $f([x-\varepsilon,x+\varepsilon])=[0,1]$.
J'ai ni le temps ni l'envie de rédiger. Est ce vrai?

Eric · September 2006

Effectivement, l'image par cette fonction de tout sous-intervalle de $]0,1[$ est $[0,1]$.

corentin · September 2006

Merci.

Sisbai · September 2006

Dites, vous m'avez pourri mon post ! Bandits... :-)

Eric · September 2006

Parce que tu trouves que mon exemple est pourri ? Je te donne de quoi remplacer les parties connexes de $R$ dans ta leçon avec un truc que tu peux même proposer en développement ...

Grumph !

Pour la peine, je te la repourris en t'indiquant que tu devrais chercher du côté des fonctions de Darboux appartenant à la première classe de Baire pour avoir des propriétés vraiment sympathiques à mettre dans ta leçon. Et si tu veux vraiment te la jouer devant le juri, tu peux même faire le lien avec les fonctions approximativement continues et attaquer les théorèmes de Maximoff (mais là, c'est vraiment si tu assures comme une bête).

Sisbai · September 2006

Euh désolé m'sieur....

Au fait, je l'ai déjà l'agrég (interne).

Merci donc pour les pistes, je vais me renseigner sur les théorèmes de Maximoff (c'est son vrai nom ou un pseudo ?)

a+

Eric · September 2006

C'est le nom donné dans le bouquin (Differentiation of Real Functions, A. Bruckner, AMS).
Tu peux aussi chercher du côté de la fonction de Croft pour un exemple vraiment "pourri" de fonction de Darboux (qui a le bon goût d'être nulle presque partout sur $]0,1[$, différente de la fonction nulle, d'être Baire 1, mais qui n'est pas une dérivée et n'est pas approximativement continue).

Sinon, pour une permière approche sur les fonctions DB1, tu peux regarder : \lien{http://eom.springer.de/D/d120030.htm}.

Eric · September 2006

J'oubliais de préciser que tout cela dépasse de loin ce que l'on attend d'un candidat à l'interne, mais d'un autre côté connaitre un exemple comme la fonction de Croft permet de montrer dans la discussion avec le jury qui suit le développement que l'on possède une culture mathématique même si on n'est pas capable de faire les démonstrations (et il semble que ce soit assez glauque pour la fonction de Croft).

Par contre, le premier exemple que j'ai donné est parfaitement abordable à l'oral de l'interne (je peux poster une rédaction de l'exo au besoin).

Sisbai · September 2006

"j'oubliais de préciser que tout cela dépasse de loin ce que l'on attend d'un candidat à l'interne"
Inutile, je m'en suis rendu compte tout seul ;-)

"permet de montrer dans la discussion avec le juri qui suit le développement que l'on possède une culture mathématique même si on n'est pas capable de faire les démonstrations"

Tout à fait d'accord.
Lors de ma leçon sur les nombres premiers ils m'ont posés une question destinée à savoir si je connaissais le théorème de Dirichlet. Ils ont effectivement apprécié que je le connaisse bien qu'étant incappable de le démontrer évidemment

a+

dark vador0 · September 2006

Hello
Le rapport est-il sorti ?
Comment savez-vous les modifs de leçon ?
Qui veut bosser l'agreg avec moi sur Paris ?
Ecrire à gausspi 'at' yahoo.fr
a+
Merci