exo oral de l'X!
dans Concours et Examens
bonjour
j'ai un petit exo à vous proposer.
quel est le minimum de (p-1)(q-1)(r-1) quand p, q et r décrivent les entiers naturels non nuls tels que
1/p+1/q+1/r<=1.
en fait j'ai trouvé 8, mais seulemnt par tatonnement. sachant que c'est un exo de l'X, connaissez vous une méthode plus rigoureuse pour le faire?
merci
j'ai un petit exo à vous proposer.
quel est le minimum de (p-1)(q-1)(r-1) quand p, q et r décrivent les entiers naturels non nuls tels que
1/p+1/q+1/r<=1.
en fait j'ai trouvé 8, mais seulemnt par tatonnement. sachant que c'est un exo de l'X, connaissez vous une méthode plus rigoureuse pour le faire?
merci
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Réponses
Trouver tous les polynômes P de R[X] tels que
Qu'en pensez vous ?
Merci infiniment
<BR>
<BR>ex1
<BR>tu développes (p-1)(q-1)(r-1) = pqr- (pq+qr+rq) +p+q+r-1
<BR>
<BR>si 1/p+1/q+1/r<=1, alors pq+qr+rp <= pqr
<BR>donc
<BR>
<BR>(p-1)(q-1)(r-1) >= p+q+r-1
<BR>
<BR>si p = q = r = 3, tu as l'égalité (p-1)(q-1)(r-1)=8
<BR>
<BR>les triplets (p,q,r) tels que p+q+r-1<8 ne sont pas légion, je veux dire par là qu'il suffit dès lors d'<B>étudier quelques cas pour montrer que 8 est bien le minimum</B>
<BR>
<BR>p, q ou r ne peut être égal à 1 because 1/p+1/q+1/r<=1
<BR>
<BR>soit p le plus petit des 3 nombres
<BR>p=q=2 est impossible, toujours because...
<BR>(p=2 et q=3) entraîne q >=6 donc p+q+r-1>8
<BR>(p=2 et q=4) entraîne q >=4 donc p+q+r-1>8
<BR>
<BR>
<BR>on a donc p>=3 et les deux autres aussi. alors p+q+r-1>=8
<BR>
<BR>C'est un peu bricolé, mais je pense que ça tient la route, non?<BR>
<BR>
<BR>ex1
<BR>tu développes (p-1)(q-1)(r-1) = pqr- (pq+qr+rq) +p+q+r-1
<BR>si 1/p+1/q+1/r<=1, alors pq+qr+rp <= pqr
<BR>donc
<BR>(p-1)(q-1)(r-1) >= p+q+r-1
<BR>si p = q = r = 3, tu as l'égalité (p-1)(q-1)(r-1)=8
<BR>
<BR>les triplets (p,q,r) tels que p+q+r-1<8 ne sont pas légion, je veux dire par là qu'il suffit dès lors d'<B>étudier quelques cas pour montrer que 8 est bien le minimum</B>
<BR>
<BR>p, q ou r ne peut être égal à 1 because 1/p+1/q+1/r<=1
<BR>
<BR>soit p le plus petit des 3 nombres
<BR>p=q=2 est impossible, toujours because...
<BR>(p=2 et q=3) entraîne r >=6 donc p+q+r-1>8
<BR>(p=2 et q=4) entraîne r >=4 donc p+q+r-1>8
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<BR>on a donc p>=3 et les deux autres aussi. alors p+q+r-1>=8
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<BR>C'est un peu bricolé, mais je pense que ça tient la route, non?<BR><BR><BR>
Pour la première question, il y a peut-être plus élégant, mais on peut procéder ainsi : on pose $f(p,q,r)=(p-1)(q-1)(r-1)$. Soit $(p',q',r')$ tel que $f(p',q',r')$ soit minimum sous la contrainte $\frac{1}{p'}+\frac{1}{q'}+\frac{1}{r'}\leq 1\,\,\,(*)$.
Quitte à permuter $p',q',r'$, on peut supposer que $p'\leq q'\leq r'$. Lorsque $p=q=r$, la contrainte $(*)$ impose $p=q=r=3$, et donc $f(p,q,r)=8$.
Si $p'\geq 4$, alors $8\geq f(p',q',r')\geq 3^{3}=27$; absurde !
Donc, $p'\leq 3$.
Si $p'=2$, alors $\frac{1}{q'}+\frac{1}{r'}\leq \frac{1}{2}$, et donc $q'\geq 3$. Si $q'=3$, alors $\frac{1}{3}+\frac{1}{r'}\leq \frac{1}{2}$, soit : $r'\geq 6$. Mais alors, $f(p',q',r')\geq 2\times 5=10$.
Si $q'\geq 4$, alors $3(r'-1)\leq 8$, donc $r'\leq 3$, ce qui est absurde car $q'\leq r'$.
Le cas $p'=1$ est évidemment impossible.
Donc, $p'=3$. D'où : $(q'-1)(r'-1)\leq 4$, mais comme $3=p'\leq q'\leq r'$, on a donc : $4\leq (q'-1)(r'-1)\leq 4$, donc $(q'-1)(r'-1)=4$ et $p'=q'=r'=3$.
On a donc montré que le minimum de $f(p,q,r)$ sous la contrainte $(*)$ est atteint en un seul point : $(3,3,3)$, et que ce minimum est $f(3,3,3)=8$.
Maintenant, il y a sans doute plus joli...
Amicalement.
Olivier.
Qu'en pensez-vous ma deuxième question ?
pour le 2e : une idée qui devrait marcher :
si P convient, $\int_{0}^{n}P=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim ln(n)$ quand $n\rightarrow \infty$. Mais pour un polynôme de degré p, cette intégrale est en $n^{p+1}$ à l'infini, contradiction.
$p+q+r \geq 3 (pqr)^{\frac{1}{3}} $ (IAG)
Or
$ (pqr)^{ \frac{1}{3} } \leq \frac{1}{3} ( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} ) \leq \frac{1}{3}$ (re- IAG )
d'où $p+q+r \geq 9$ et on a bien égalité pour $p=q=r=3$
Ok, l'IAG n'est pas au programme des prépas, mais c'est la méthode que j'ai pemployé avec l'examinateur, et c'est visiblement celle qu'il attendait, donc bon, on va pas se priver ...
shadow
\[ (pqr)^{\frac{1}{3}} \geq \frac{3}{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}} \qquad \mathbf{(inégalité\ géométrico-harmonique)} \]
Pour en déduire effectivement $p+q+r \geq 9$.
LaoTseu.
euh j'avais pas vu ça comme ça, je m'étais contenté d'appliquer l'IAG à 1/p, 1/q et 1/r