Exos de concours

Lebesgue0 · August 2006

Bonjour à tous,

Un prof de ma prépa a décidé de publier un livre d'exos. Il demande la contribution des élèves pour lui donner une solution rédigée des exos eus aux concours. Je voudrais avoir votre avis sur mon travail. J'ai rédigé les exos qui m'ont le plus inspiré et je pense ne pas avoir fait d'erreur majeur. Je compte sur votre esprit critique pour déceler mes erreurs (il y en a sûrement quelques unes).
N'oubliez pas : Il s'agit d'un livre pour les prépas, donc pas de théorèmes saugrenus sortis du chapeau.
Le troisième exo traite de théorie des corps, et il est évident quand on en a fait un peu. Mais comme ce n'est pas au programme, j'ai essayé de donner une solution sans trop de développements poussés qui n'auraient pas leur place ici.

Merci beaucoup à tous ceux qui donneront leur avis.
Lebesgue

Eric · August 2006

Quelle belle idée, faire écrire un livre par ses élèves et le publier sous son nom ...
Je vais essayer avec mes élèves de 3ème.

curieux1 · August 2006

Je vois pas trop en quoi le fait d'écrire Tr(D)=\lambda1+...\lambdan=0 te conduit à considérer le système des uk. Il suffit de dire qu'on cherche des matrices diagonales de trace nulle et puis que celle-là sont effectivement les plus simples auxquelles on peut penser, non?

Dans la décomposition de uk à l'aide des 3 matrices. peut-être qu'il faudrait expliquer pourquoi la 1ère est nilpotente (on élève au carré par ex).

Sinon j'ai une autre idée pour ceci, sachant qu'il est toujours intéressant d'avoir plusieurs preuves bien distinctes d'un même résultat.
Pour l'inclusion non triviale du premier exo (si je suis de trace nulle, alors je suis dans le vect des nilpotents), on peut arriver à la solution avec un petit lemme archi-classique:
Toute matrice M de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle.

Notons M' une telle matrice et P inversible telle que M=PM'P^(-1)
On coupe alors M' en deux en l'écrivant comme somme d'une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle, notée A et d'une matrice triangulaire inférieure à diagonale nulle notée B.
A et B sont nilpotentes et on a M=PAP^(-1)+PBP^(-1).

Lebesgue0 · August 2006

Merci beaucoup curieux : Je connaissais le résultat que tu cite, mais je n'y avais pas pensé. Puisque E est évidement stable par passage à une matrice semblable, ça tue l'exo tout de suite.

Aleg · August 2006

bonjour,

Une petite remarque sur la forme : ça me paraît être une idée assez incongrue de demander aux autres de bien vouloir bénévolement revoir tes solutions, pour un travail commercial destiné à être publié sous un seul nom (et qui en plus n'est même pas le tien).
La meilleure méthode serait d'envoyer directement tes solutions au prof en question et qu'il les révise lui-même, puisqu'après tout il s'agit de "son" travail.

PS : faites plutôt un recueil d'exos corrigés qui soit en accès libre et gratuit, tout le monde vous en sera reconnaissant... Et, par pitié, passez à Latex !

curieux · August 2006

Exact, mais pour ça il faudrait avoir quelques informations sur le professeur en question. On pourrait en savoir un peu plus Lebesgue, que ce soit en privé ou non ?

Lebesgue0 · August 2006

Je ne crois pas que ce prof tire un quelconque bénéfice de ce livre, qui d'ailleurs n'est pas publié à son nom. Je me suis mal exprimé dans mon premier message. Il me semble d'ailleurs que le livre est reservé à la prépa où j'étais, et non à une distribution commerciale étendue. Il s'agit simplement d'un service pour les élèves.

Lebesgue

Lebesgue0 · August 2006

J'ai oublié de signaler que tous les noms des élèves ayant contribué apparaîssent dans le bouquin, donc on a quand même une petite reconnaissance.

Aleg · August 2006

c'est assez flou, mais, bon, ça n'empêche pas de mettre en oeuvre la suggestion que je répète : "faites plutôt un recueil d'exos corrigés qui soit en accès libre et gratuit, tout le monde vous en sera reconnaissant... ", et, en plus, tout le forum sera là pour vous y aider..

Ludo · August 2006

Aurais-tu l'amabilité de reposter le truc en .pdf afin que je puisse le lire dans des bonnes conditions ? Merci.

Sinon, je ne comprends pas que le premier exo soit encore posé aux ENS. Je le trouve particulièrement inintéressant. À ce niveau, ils pourraient faire un peu attention à poser des choses dont on peut justifier l'interêt...

Eric · August 2006

Même remarque sur le pdf, parce qu'un fichier word, il y a longtemps que je n'ouvre plus ça sur ma machine.

Guimauve · August 2006

Voici le fichier exporté au format PDF avec Open Office.

Ben · August 2006

Dans ma prépa, cela se faisait aussi, de compiler les exos des années précédentes, et chacun renvoyait ses planches de bonne grâce. Par contre, point de solution, et le recueil était fait d'immondes photocopies des manuscrits des auteurs !

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