Enigme: nombre de cheveux.
Bonjour,
Voila une petite énigme sur laquelle je bloque et dont je n' ai pas trouvé de correction. Pouvez vous m' aider?
Paris compte deux millions d'habitants. Un être humain a, au plus, 600 000 cheveux sur la tête. Au vu de ces données (et sachant cela seulement), combien de Parisiens peut-on trouver qui ont exactement le même nombre de cheveux sur la tête ?
Voila une petite énigme sur laquelle je bloque et dont je n' ai pas trouvé de correction. Pouvez vous m' aider?
Paris compte deux millions d'habitants. Un être humain a, au plus, 600 000 cheveux sur la tête. Au vu de ces données (et sachant cela seulement), combien de Parisiens peut-on trouver qui ont exactement le même nombre de cheveux sur la tête ?
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Réponses
On considère 600 001 tiroirs (un tiroir pour les parisiens ayant 0 cheveu, un tiroir pour ceux ayant un cheveu,...un tiroir pour ceux ayant 600 000 cheveux). Le principe des tiroirs dit alors qu'on a au moins un tiroir ayant 2 000 000 / 600 001 éléments i.e. au moins 4 parisiens ont le nombre de cheveux sur la tete...je pense pas qu'on puisse faire plus fin que ça ?
merci
<BR>ton problème est une utilisation classique et bien connue du principe des tiroirs, et Hoeg en a donné la bonne solution.
<BR>Je te recommande, à ce sujet, la lecture du petit document suivant trouvé sur le site de Xavier Caruso.<BR>
l'une des plus surprenantes utilisations du pincipe des tiroirs est pour la démonstration d' un théorème de Dirichlet qui dit que: pour tout nombre irrationnel, il existe de bonnes approximations diophantiennes.( Duverney p5).
Si la question était : combien est-t-on sur de trouver, ca serait d'après le principe des tiroirs la partie entière supérieure de 20/6 :
Es(20/6)=Es(1/3+3)=4
1) On dispose d' un carré de coté $1$, on place des points à l' intérieur du carré mais on veut que chaque point que l' on place soit à une distance d' au moins $\frac{3}{4}$ des précédents.
Combien de points peut- on placer au maximum?
2) Montrer que parmi les nombres $7$,$77$,$777$,...$777...777$ , il y en a au moins 1 divisible par $61$ ?
Il y a pleins d' autres exemples rigolos dans proof from the book!
en voici une autre application (que je crois classique) en analyse élémentaire : montrer que parmi 7 réels quelconques, il en existe au moins deux, disons $x$ et $y$, tels que
$$0\leq \frac{x-y}{1+xy}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Idem pour Aleg :S.
Je suis vraiment pas performant ce soir.
1) essaie de partager le carré en morceaux qui formeront les tiroirs.
2) utilise le fait que parmi cette suite infinie de nombres , deux ont le même reste modulo 61
Pour celui d 'Aleg : $tan(a-b)=...$
Appelle $x_1\leq x_2\leq \dots \leq x_7$ sept réels et introduis $\theta _k=\arctan x_k$ pour $k=1,..,7$.
Les sept nombres $\tehta _k$ sont dans un intervalle de longueur $\pi $ : divise cet intervalle en six sous-intervalles de longueurs égales, applique le principe des tiroirs (sept nombres dans six tiroirs etc..), puis passe à la tangente comme l'a indiqué Pilz ci-dessus.
un exemple géométrique utilisant le même principe . On place 51 points dans un carré de côté 7 . Montrer qu'il existe au moins un disque de rayon 1 contenant 3 de ces points .
Domi
Un peu de tiroirs, un peu de combinatoire...
J' ai aussi réussi l' histoire du carré, manque encore la question sur la divisibilité de 7777777.
Une société internationale a des membres venant de six pays. La liste des membres comprend 1978 noms numérotés de 1 à 1978.
Montrer que il y a au moins un membre dont le numéro est la somme des numéros de deux des membres de son propre pays ou dont le numéro est deux fois plus grand que le numéro d'un des membres de son propre pays.
Je l'ai déjà posté sur le forum il y a pas mal de temps et la réponse et pas mal de développements ont été donnés à ce moment.
Je poste la solution (qui n'est pas de moi!) si quelqu'un la demande.
<BR>
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=28597&t=28040"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=28597&t=28040</a>
<BR>
<BR>L'intérêt de ce problème est d'aller un peu plus loin que la bête utilisation du principe de Dirichlet et d'entrer dans la théorie de Ramsey.<BR>
<BR><BR>[Fermé pour contrer le robot qui assène ses Spam toujours sur les mêmes fils, dont celui-ci. AD]