Fonctions holomorphes - exercice
Bonjour.
Dans son cours d'Analyse Complexe, Michèle nous propose cet exercice :
trouver toutes les fonctions entières $f$ vérifiant $|f(z)|=|z|^2$.
Je ne vois pas comment faire. J'ai essayé avec les condtions de Cauchy, mais ça ne me donne rien de bien intéressant. Si quelqu'un a une idée ?
Merci.
Dans son cours d'Analyse Complexe, Michèle nous propose cet exercice :
trouver toutes les fonctions entières $f$ vérifiant $|f(z)|=|z|^2$.
Je ne vois pas comment faire. J'ai essayé avec les condtions de Cauchy, mais ça ne me donne rien de bien intéressant. Si quelqu'un a une idée ?
Merci.
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Réponses
que peut-on en dire?
puis tu considère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ tu montre qu' elle est holomorphe, son module est constant égale à 1 donc $f(z)= e^{i\theta}z^{2}$
puis tu considère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ tu montre qu' elle est holomorphe, son module est constant égale à 1 donc $f(z)= e^{i\theta}z^{2}$
> est holomorphe, son module est constant égale à 1 donc
> $f(z)= e^{i\theta}z^{2}$
Ok.
> on reconsidère $g(z)=\frac{f(z)}{z^{2}}$ elle est entiere
Cette fonction est holomorphe en 0 ?
la fonction g est holomorphe en zero car elle est holomorphe sur C*, et bornee au voisinage de zero.
RRt
$$2\pi a_n r^n=\int_0^{2\pi} f(re^{it})e^{-int}dt$$ et tu majores en module puis tu fais tendre r vers l'infini...
$$|a_n|r^n\leq r^2$$ aprés simplification...
donc si r tend vers l'infini on voit que $a_n=0$ pour $n>2$ et quand r tend vers 0 on doit avoir $a_n=0$ pour $n
soit f une fonction entière qui est majorée en module par un polynôme.
que peut-on en dire
ps : c'est un exo du Rudin
On note $n$ le degré du polynôme $P$ majorant $f$ . On a $f(z) =Q(z)+z^{n+1}.g(z)$ avec $Q$ polynôme de degré au plus $n$ et $g$ entière . Alors :
$|z|^{n+1} . |g(z)| \leq |f(z)|+|Q(z)| \leq |P(z)|+|Q(z)|$ .
Comme $P$ et $Q$ sont deux polynômes de degré au plus $n$ :
$$\lim_{|z| \rightarrow +\infty} \frac{|P(z)|+|Q(z)|}{|z|^{n+1}} = 0$$
Alors $g$ est bornée sur $\C$ donc constante et $f$ est un polynôme .
Domi
<http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf>
L'exercice est dans le chapitre 2 ; le chapitre sur les points singuliers et les fonctions méromorphes est le 4.
J'adopterai donc la méthode de vincent83
Pour $|f|\leq |P|$ avec $P$ polynome de degre $n$, on trouve que $f=cP$, où $c$ est un complexe de module inférieur ou égal à 1.
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