Axiome du choix

coincoin3 · June 2006

Resalut,

Merci pour ta réponse GERARD.
Non je n'ai perdu le fil du post, je le lis tous les jours.
Effectivement personne ne m'avait répondu c'est pour ça
que je ne postais plus : l'utilisation de &quotAC" dans quelle démo
n'est pas le sujet du post mais c'est bien d'en parler aussi.

GERARD, le truc que je pige pas c'est ça :
Quand on a $\R/\Q$ et qu'on veut un ensemble de représentants
On a soi-disant besoin de &quotAC" pour choisir. Mais
1) On sait que chaque classe d'équivalence est non vide
donc, il existe $x \in C$ où $C$ est une classe.
2) AC nous dit il existe $f$ telle que ...

Pourquoi dans 1) on a pas le droit de prendre un $x$ dans chaque
classe directement et former l'ensemble cherché (qui est bien un
ensemble dans ce cas si) et pourquoi dans 2) par contre on prend
un $f$ direct. Dans les deux cas, on sait qu'il existe quelque chose
mais dans 1) il faut &quotAC" alors que dans 2) on prend $f$ direct ?

Sinon, dans l'ensemble (si ça en est bien un) des fonctions de choix
pour notre problème, il faut en choisir une ! donc il faut refaire appel
à AC et ainsi de suite ... car si on veut être rigoureux, il faudra écrire
quelque part que l'ensemble cherché $S = f({C_x})$ où $x$ parcourt
$\R$ pour avoir toutes les classes. Seulement il faut choisir une $f$
avant !!! C'est pour ca que dans mon premier ou second post je dis
qu'on a une &quotespèce de composition a l'infini de fonctions de choix&quot.

Désolé j'ai pas été bien clair. S'il est possible de me donner des
références pour $ZF$ et compagnie merci beaucoup. Je pourrais enfin
peut être y voir plus clair !!!

Merci

jobherzt · June 2006

je vais essayer de repondre :
 e fait, etant donne une classe, tu peux en choisir un element. tu peux recommencer tant que tu veux. mais pour prndre un element dans toute les classes, il y a un passage qui n'est pas trivial. pour faire cela, il faut soit un algorithme qui permette mecaniquement de prendre un element dans une classe, soit utiliser l'axiome du choix.
 
 sinon, l'axiome du choix nous dit qu'il existe au moins une fonction de choix, mais on n'a pas besoin de la chosir elle meme !! l'axiome nous dit donc qu'il existe au moins un ensemble qui satisfait a nos condition, et son existence nous suffit dans la demonstration.

GERARD · June 2006

Salut Coincoin, content d'avoir de tes nouvelles!

Ce qui te brouille l'esprit, c'est ce f, la fonction de choix. Ce f n'est que l'expression mathématique du choix d'un élément dans chaque ensemble. Donc quand tu dis "prendre un x dans chaque classe directement et former l'ensemble cherché", tu exploites l'axiome du choix, et tu définis une fonction de choix (Celle qui associe à chaque ensemble l'élément qu'on y prends).

Autrement dit, la fonction f n'est qu'un moyen de noter l'effet de l'axiome. Et il n'y a qu'un f. Qu'on ne choisit pas en général, parmi tous ceux qui seraient possibles, car on n'utilise cet axiome que si on n'a pas le choix (si on ne sait pas faire autrement).

A +

@l · June 2006

Peut-être que ce lien te satisfera Coincoin :
 <a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=180604&t=180566#reply_180604"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=180604&t=180566#reply_180604 </a>
 @l

jean-c_rien1 · June 2006

Bonjour,

j'ai un problème morale avec la proposition :
AC <=> la réunion de toute famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable
Si je suis bien le raisonnement de GG, il démontre :
AC => la réunion de toute famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable
et il reprend @! :
non AC => non (la réunion de toute famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable)

Sauf qu'il fait mieux, il à démontré :
ACD(ax. du choix dénombrable) => la réunion de toute famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable
Donc :
ACD => AC
D'où :
ACD <=> AC
Sauf que ça ça va pas du tout.

bs1 · June 2006

bonjour

eh oui coincoin, gros dilemme

ou bien je créais un nouveau post :" utilisation de AC ",et alors ,l'un de nos modérateurs préféré m'expliquait qu'il fermait le post parce que...
et ce avec juste raison.

ou alors je m'immisçais subrepticement dans ton post pour y poser ma question, c'est ce que j'ai fait ,et je te remercie de m'avoir ainsi accueilli.
De plus j'ai obtenu les réponses souhaitées, mais pendant ce temps tu n'avais pas toujours les tiennes.Je te rends la place qui te revient.

à +

coincoin3 · June 2006

Je reviens après une sièste (car pas eu le temps de dormir à cause du boulot). Malheureusement je n'ai aucun livre disponible car en Lozère il y a que dale mais ça c'est un autre débat. Bref je remontre sur Clermont Vendredi et j'irai faire un tour a la BU pour y réemprunter le Bourbaki car je ne fait pas confiance à ma mémoire. Mais dans mon souvenir il y a un &quotpetit" théorème qui dit que si $R$ est une relation $X$ un ensemble alors la relation $x \in X et R$ est colectivisante à savoir il existe un ensemble qui contien exactement les $x$ qui vérifient $x \ in X et R$. Donc il faut chercher mais je chercherais plus à Clermont, pour cette histoire de classe d'équivalence. Si je vous suis bien cet &quotaxiome" sers à se créer des ensembles mais justement le tau de Hilbert nous permet de nous en passer alors pourquoi ne pas le faire ? Sinon merci pour ton lien @l. Et bs tu peux toujours te servir de cette série de post pour poser tes questions il y a no problem au contraire ça pourra aussi peut être me servir.

PS : il y a une faute dans mon post précédents où je dis $S = f(C_x)$ c'est plutot $S = f(\{C_x\})$

Merci je vais manger et je reviens lire.

jobherzt · June 2006

Un x ne peut pas vérifier une relation tout seul... Il me semble voir de quoi tu parles, mais je n'ai pas les détails en mémoire...

Sinon : le tau de Hilbert implique implicitement l'axiome du choix, si je ne m'abuse... Je crois que quelqu'un avait donné des explications plus haut !

GG · June 2006

jean-c_rien, ah ... la balle est dans le camp de @l vu que je ne sais pas démontrer sa proposition. C'est donc probablement ¬ACD qui implique l'existence d'une réunion non dénombrable d'une famille dénombrable ...

GG · June 2006

P.S. quoi qu'il en soit, bonne réaction jean-c_rien

GG · June 2006

bonjour,
juste un petit "up"
afin que cette "preuve" de ACD <=> AC ne reste pas impunie dans le tréfonds du forum ...
Question de principe

jean-c_rien1 · June 2006

Sur <http://www.madore.org/~david/math/ac_var.html> on peut lire que la proposition RSR:<=>"R n'est pas une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables" est indécidable dans ZF; et bien sûr que ACD=>RSR.
Mais il n'y a pas RSR=>ACD, donc ça ne fait pas avancer le schmili... le schimilili...
Enfin on en est toujours au même point quoi. On ne peut quand même pas laisser la question s'endormir. Alors s'il vous plait aidez-nous.
Merci, jean-c_rien

@l · June 2006

Salut,

désolé de ne répondre que maintenant: je me suis absenté ces derniers jours. Effectivement, il y avait un bug ;-)

C'est la négation de l'Axiome du Choix {\bf Dénombrable} qui implique que $\R$ peut être une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. Au temps pour moi.

@l

jean-c_rien1 · June 2006

Ouf, mais j't'avourait qu'au point où en sont les choses, je ressens le besoin physique d'en connaître la démonstration. Est-ce que t'aurait ça sous le coude par exemple.
Merci encore et merci d'avance, jean-c_rien

@l · June 2006

Sauf erreur de ma part..., la preuve utilise du forcing. (c'est d'ailleurs pas étonnant)

@l

jean-c_rien1 · June 2006

C'est vrai que ça parrait vachement naturel quand on y pense. Et rien que d'entendre ça on en voit presque la démonstration. Je vais tenter de le démontrer par moi-même ou par mes soins.
Merci encore

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Ne peut-on pas dire qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable ?

jean-c_rien1 · June 2006

Si, mais à condition d'avoir, par exemple, l'axiome du choix dénombrable. C'est bien ce qui nous posais problème.

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Est-ce qu'il faut vraiment l'axiome du choix pour exhiber une fonction de choix ?

$E_i = \{ x_{i,j} \}$

$\Phi(i,j) = (\min_{x_{k,l}=x_{i,j}}k,\min_{x_{k,m}=x_{i,j}}m})$

$Union_i E_i = Union_{(i,j)} x_{\Phi(i,j)}$

@l · June 2006

Le forcing est l'outil le plus utilisé en théorie des ensembles: la quasi-totalité des résultats dans cette théorie se démontre grâce à lui depuis que Cohen l'a inventé dans les années 60.
Il est prouvé que dans de nombreux cas, on ne peut pas trouver un modèle de $ZF$ + l'axiome désiré, sans le forcing.

Cependant le forcing est, à mon avis, un des objets mathématiques les plus durs à utiliser. Il faut une sacré intuition en théorie des ensembles pour le comprendre et s'en servir correctement.

Ainsi démontrer ce résultat 'à la main' risque d'être dur. Maintenant, je ne connais pas précisément la démo et je ne sais pas où la trouver. Il faut bien voir que dès qu'on s'attaque à des problèmes de consistance relative, sauf exceptions, on tombe vite dans des preuves ardues et explicitées uniquement dans quelques articles.
Ainsi, c'est souvent qu'on est très content de savoir tel ou tel résultat, et sauf si on bosse dans le sujet précisément, on se contente de savoir que tel ou tel axiome est consistant avec $ZF$.

@l

Bruno · June 2006

"Il faut une sacré intuition en théorie des ensembles pour
 le [le forcing] comprendre et s'en servir correctement. "
 
 Ça fait longtemps que je le pense ;-)
 
 Bruno

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Je me suis un peu mélangé les pinceaux tout à l'heure. On note $f$ une bijection de $\N$ sur $\N^2$. et $g$ telle que
$g(i) = min_{x_{f(j)} = x_{f(i)}}j$
avec $E_i = \{x_{i,j}\}$
alors
$U_i E_i = \{x_{fg(j)}\}$

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Encore raté, désolé... Bon, dernier essai et après j'arrête, promis !

On garde $f$ et $g$ et on pose $h$ telle que
$h(0) = 0$
$h(i+1) = min j , j > h(i) , g(j) = j$

On devrait alors avoir
$U_i E_i = \{x_{fgh(j)}\}$

GG · June 2006

quoi qu'il en soit, Jean-Louis Lambda, au moment où tu écris
E_i = {x_ij}, tu présuppose que tu possèdes pour tout i une bijection de N sur E_i donnée par b(j) = x_ij. Or c'est bien là le problème, quand on donne la famille d'ensembles dénombrables, on ne donne pas ces bijections, et pour les construire, il faut l'axiome du choix dénombrable.

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Que signifie alors "$E_i$ est dénombrable" si ce n'est pas qu'il est en bijection avec $\N$ ?

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Mmmmhh... OK, j'ai compris ! Il existe un tas de bijections pour chaque $E_i$, le problème étant d'en choisir une pour tout i.

GERARD · June 2006

J'appuie Jean Louis : La donnée d'un ensemble dénombrable est la donnée d'un couple (E,f) où E est un ensemble et f une bijection de E sur $\N$. Sinon, on a donné un ensemble dont on ne sait pas s'il est dénombrable ou pas !

Cordialement

GERARD · June 2006

Effectivement, jean Louis explique bien : Il y a des cas où la bijection n'est pas explicitement donnée. D'où l'intérêt des maths constructives !

Cordialement.

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Donc, pour répondre à ma propre question, "$E_i$ est dénombrable" ne signifie pas &quotil esiste une bijection" mais &quotil existe un tas de bijections&quot.

GG · June 2006

GERARD,
quand on se donne un ensemble non vide, on dit : "soit E un ensemble non vide", on ne dit pas "soit un couple (E,a) avec a € E" !

GERARD · June 2006

Effectivement, GG. J'étais sur une axiomatique constructiviste (En vieillissant, je deviens de plus en plus exigeant, d'un point de vue philosophique, sur la constructibilité des notions).

Cordialement

Jean-Louis Lambda0 · June 2006

Refuser l'axiome du choix, j'ai l'impression que c'est comme refuser$\forall x,x \not\in \emptyset$

GERARD · June 2006

Salut jean Louis.

Tu te trompes fortement. On peut parfaitement construire des mathématiques assez complètes en refusant les objets non construits (comme la fonction de choix de l'axiome). Les mathématiques intuitionnistes sont assez élaborées, mais certaines preuves classiques sont très délicates, et on perd une partie des maths actuelles (n'ayant pas le tiers exclu, toutes les preuves d'existence qui ne sont pas l'exhibition d'un exemple ne sont plus admises). Par contre, l'expression logique que tu proposes est tellement intuitive qu'il est difficile de ne pas l'utiliser (Bien que les mathématiques se sont passées du zéro très longtemps, et de l'ensemble vide encore plus longtemps).

Cordialement

NB : J'ai toujours des craintes sur l'utilisation de l'axiome du choix, bien que je reconnaisse les pruves qu'il permet.

jean-c_rien1 · June 2006

Jean-Louis,
il faut voir aussi qu'on a un axiome du choix dénombrable, et que celui ci n'est pas incompatible avec le refus principe du tier exclu. Les intuitionnistes l'ont donc pour la plupart accepté, et ils ont ainsi accès aux constructions qui demande une infinité dénombrable de choix.

Axiome du choix

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 43