oral X application affine
Bon, je sèche complètement sur cet exo
soit E un e-v de dimension finie sur R, C un compact convexe non vide de E
et u une application affine telle que u(C) est inclus dans C.
On pose $u_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}{n-1}u^k$
Montrer que $\bigcap_{n=0}{+\infty} u_n(C)\neq \emptyset$...
je pensais montrer qu'elle admet un point fixe. Si u est linéaire j'ai une démo évidente en extrayant une suite de $u_n(x)$ où $x$ est un point fixé dans $C$.
Mais si $u$ est affine, je n'y arrive pas.
merci de m'aider
soit E un e-v de dimension finie sur R, C un compact convexe non vide de E
et u une application affine telle que u(C) est inclus dans C.
On pose $u_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}{n-1}u^k$
Montrer que $\bigcap_{n=0}{+\infty} u_n(C)\neq \emptyset$...
je pensais montrer qu'elle admet un point fixe. Si u est linéaire j'ai une démo évidente en extrayant une suite de $u_n(x)$ où $x$ est un point fixé dans $C$.
Mais si $u$ est affine, je n'y arrive pas.
merci de m'aider
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
on écrit $u = a+M$ où $a$ est un point et $M$ une application linéaire.
On choisit $x$ un point de $C$ (non vide). Et on pose $x_n = u_n(x)$.
Alors $\frac{1}{n}(u(nx_n)) = a+\sum_{i=0}^{n-1} Mu^i(x)$. Or $Mz = u(z) -a$. Donc
on tombe sur $\frac{1}{n}(u(nx_n))=\frac{1-n}{n}a +\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} u^{i+1}(x)$.
D'où $\frac{1}{n}(u(nx_n))-x_n = \frac{1-n}{n} + \frac{1}{n}(u^n(x)-x)$.
Par compacité de $C$, on extrait une suite convergente de $x_n$, encore notée $x_n$ par commodité.
On note $y$ sa limite, point du compact, car celui-ci est fermé.
Comme $u^n(x)$ est bornée (par compacité de $C$),
on a la relation $\frac{1}{n}u(nx_n) -x_n \to -a$.
Or $u(nx_n) = a + nMx_n$ donc $\frac{1}{n}u(nx_n)= \frac{a}{n} + Mx_n$.
Or l'application $M$ est continue, donc $Mx_n \to My$.
Puis, par unicité de la limite, $y = a+My = u(y)$
Cet exercice se trouve dans le vieux livre: Problèmes résolus d'Analyse de Jacqueline Lelong-Ferrand. Bien vouloir comparer sa preuve (ses indications) à la vôtre.
Soient $E$ un e-v de dimension finie sur $\R$ et $C$ un compact convexe non vide de $E$
Soit $u$ une application affine telle que $u(C) \subset C$.
On pose $\displaystyle{u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u^k}$
Montrer que $\displaystyle{\bigcap_{n=0}^{+\infty} u_n(C) \neq \emptyset}$...
je pensais montrer qu'elle admet un point fixe. Si $u$ est linéaire j'ai une démo évidente en extrayant une suite de $u_n(x)$ où $x$ est un point fixé dans $C$.
Mais si $u$ est affine, je n'y arrive pas.
merci de m'aider
Pour traiter cet exercice , et en utilisant les notations de Le Poulpe, ne peut-on aussi montrer que si $u(x)=b+M(x)$ :
alors $u(C)\subset C \Rightarrow M est strictement contractante$
donc $u$ serait strictement contractante et comme $C$ est complet alors $u$ admet un point fixe dans $C$ ( considérer la suite de points de $C$ définie par $x_n=u(x_(n-1))$ et $x_0\in C$
Et $ M$ contractante car sinon le diamètre de $u(C)$ serait supérieur au diamètre de $C$ ce qui est absurde puisque $u(C)\subset C$
Madec
Je me suis sans doute un peu "enflammé" en écrivant que si $M$ n'était pas contractante alors le diamètre de $u(C)$ serait plus grand que celui de $C$ .Cest vrai en dimension 1 , mais pas forcément au delà ; donc ma proposition de démo ne tient probablement pas la route ...
Madec
y aurait-il une autre méthode que celle développée par Le Poulpe pour résoudre cet exo ?
Madec
Du coup u(x_n)-x_n = 1/n(u^n(x)-x) directement, sans mon artifice à la noix.
Je ne connais pas d'autre méthode mais on peut prolonger l'exo comme me l'a fait faire mon prof ce matin.
On prend U une famille quelconque d'applications affines qui commutent 2 à 2 et stabilisent C
Montrer qu'elles ont un point fixe commun.
concernant le prolongement proposé par Le Poulpe:
si on considère une famille $u_i$ d'application affine de $E$ qui commutent 2 à 2 et qui laissent stable $C$
clairement d'après ce qui précéde , elles ont toutes au moins un point fixe $x_i$ dans $C$
Si , Je suppose qu'au moins une d'entre elle a un unique point fixe , supposons que c'est $u_1$
on a alors $\forall i (u_i°u_1)(x_1)=(u_1°u_i)(x1)$
donc $u_i(x_1)$ est un point fixe de $u_1$ et comme par hypothèse il est unique alors $u_i(x_1)=x_1$
Ce qui prouve que tous les $u_i$ ont $x_1$ comme point fixe commun.
Sans faire l'hypothèse supplémentaire c'est probablement plus dificile à obtenir ...et je suis intéressé par une solution .
Nota : u admet un unique point fixe , revient à ce que M-Id soit inversible
Madec
Bonjour
Le Poulpe en suivant ton indication , j'arrive à la chose suivante :
soit un couple de la famille des applications mettons $u_1$ et $u_2$
et soit $x_1$ un point fixe de $u_1$ dans $C$ (on sait qu'il existe)
il est facile de vérifier grâce à la commutativité de $u_1$ et $u_2$ que
$u_2(x_1)$ est un point fixe de $u_1$ et plus généralement
$u^(k)_2(x_1)$ points fixes de $u1$ dans $C$
je note dorénavant $ y_k$ cette suite de points fixes de $u_1$
Comme $C$ est compact on peut en extraire une suite
$ y_\phi(k)$ qui converge dans $C$ je note $y$ sa limite .
par continuité de $u1$ et comme les $y_k$ sont points fixes de $u_1$ on en déduit que $u_1(y)=y$
pour montrer que $y$ est aussi fixe pour $u_2$
si $\phi(k+1)=\phi(k)+1$ au moins à partir d'un certain rang alors c'est OK il suffit d'écire
$ u_2(y_\phi(k))=y_\phi(k+1)$ et en utilisant la continuité de $u_2$ passer à la limite .
mais si ce n'est pas le cas , je ne sais comment procéder .
Puis ensuite à supposer qu'on soit parvenu à un point fixe pour tout couple , comment passe t-on au n-uplet ?
Si tu pouvais fournir un peu plus d'indication je suis preneur .
Merci d'avance .
Madec
notons $K_{u_1}$ l'ensemble des points fixes de $u_1$.
C'est un compact convexe non vide stabilisé par $u_2$
fermé car image réciproque d'un fermé par une application continue
borné ca inclus dans C
convexe car $u_1$ est affine
stabilisé par $u_2$ car les applications commutent.
Donc $u_2$ y admet un point fixe (en utilisant la question d'avant)
et ce point fixe est commun aux deux applications.
Ensuite une récurrence permet de prendre le cas d'un nombre fini d'applications affines.
Pour le cas général, supposons par l'absurde $\bigcap_{u\in U} K_u = \emptyset$.
En utilisant Borel lebesgue, il existe une famille finie de $u$ telle que l'intersection soit vide, mais en utilisant ce qui précède, c'est absurde.
T'as plus qu'à compléter les blancs...
(ps : j'ai pas vu comment indiquer comme il faut, désolé...)
Merci beaucoup Le Poulpe d'avoir répondu .
J'ai juste deux remarques :
1) Le Théorème de Borel Lebesgue( Dans un compact , si une famille de fermé est d'intersection nulle alors ...etc) n'est plus me semble t-il au programme de spé
2) la récurrence dans le cas fini ne me semble pas si évidente ( honte à moi si c'est le cas)
Madec
2) K = l'ensemble des points fixes communs à u_1, ..., u_i est un compact convexe stabilisé par u_{i+1}.