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Théorème de Shannon sur l'échantillonnage

Bonjour à tous.
Je suis en MP et je cherche une démonstration abordable à mon niveau (même si il y a quelques théoêmes à admettre ce n'est pas très grave, c'est pour mon TIPE en fait) du résultat de Shannon concernant l'échantillonnage d'un signal analogique:
à savoir: la fréquence d'échantillonnage, pour pouvoir reconstituer le signal d'origine, doit être de 2 fois supérieure à la fréquence maximale que peut prendre le signal que l'on veut numériser.
Merci de votre aide.


[J'ai ramené le niveau de Capes à L1/L2. AD]

Réponses

  • Ce n'est pas le théorème de Nyquist ça ?

    Et pourquoi "Capes" comme niveau ?
  • Aucune idée j'ai pas vu prépa.
    Pour le nom du théorème:
    critère de Nyquist=théorème de Shannon.
  • Ok pour le nom du théorème. Et prépa = bac + x, x < 2 donc le niveau est L1/L2 (ancien DEUG).

    Pour la démo je l'ai lue mais je n'en ai aucun souvenir... Je regarderais dans mes archives quand je pourrai.
  • Peut etre est ce trouvable dans Gasquet Witomski, analyse de Fourier et Ondelettes. Sinon, il y a un théorème d'échantillonnage de Shanon dans Willem, analyse harmonique, mais il ne s'énonce pas comme tu le dis (c'est un résultat sur les fonctions dont la transformée de Fourier est à support compact).
  • Va voir dans Willem "Analyse Harmonique" pour la preuve du théorème de Shannon sans le critère d'optimalité.
  • Effectivement c'est fait leçons 37-38 du Gasquet-Witomski mais à base de distributions et de transformée de Fourier, un peu perché pour un TIPE non...
  • Soit f une fonction L2...
    On note alors $\hat{f}(\mu) = \int_{R} f(x)e^{-2i\pi\mux}$ sa transformée de fourier...
    On suppose que $support(\hat{f}) \in [-\Omega \Omega]$
    Tu considères alors $\tilde{f}$ la periodisée de $\hat{f}$ de periode $2\Omega$
    T'exprime alors $\tilde{f}$ à l'aide de sa serie de fourier...
    $$ \forall x \in R, \tilde{f}(\mu) = \frac{1}{2\Omega} \sum_k C_k e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}} $$
    avec

    $$ C_k = \int_{-\Omega}^{+\Omega} \tilde{f}(\mu)e^{-\frac{i\pik\mu}{\Omega}} = \int_{R} \hate{f}(\mu)e^{-\frac{i\pik\mu}{\Omega}} = f(k/(2\Omega))
    $$


    Au final, $\forall \mu \in [-\Omega, +\Omega]$, on a
    $$ \hat{f}(\mu) = \frac{1}{2\Omega} \sum_k f(k/(2\Omega))
    e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}} $$


    En premant la transformée de Fourier inverse de $ \hat{f}$, tu trouve alors

    $$f(x) = \int_{-\Omega}^{+Omega} \hat{f}(\mu) e^{+2i\pi\mu x} $$
    et donc
    $$f(x) =\frac{1}{2\Omega} \sum_k f(k/(2\Omega) \int_{-\Omega}^{+Omega}e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}}e^{+2i\pi\mu x} $$




    Conclusion : à partir d'un échantillonage de periode $1/(2\Omega)$ , tu peux reconstruire complétement f ou $\Omega$ représente la fréquence maximale de ton signal.
    En faite la démonstration montre que lorsque tu échantillones ton signal avec une periode h, tu périodises la transformée de Fourier du signal avec une période de $1/h$. Pour ne pas perdre d'information sur f, il faut alors que le support de $\hat{f}$ soit compris dans l'intervalle $[-1/(2h), 1/(2h) ]$ ( Sinon il y a recouvrement...). Ceci implique donc que $\Omega \leq 1/(2h)$


    elie
  • Le problème étant d'ailleurs que puisque le support de la transformée de Fourier est borné, le support du signal ne l'est pas, donc tu as théoriquement besoin d'une infinité d'échantillons...
  • Pour une approche plutot intuitive (mais sans la rigueur mathématique !) voici un petit lien :

    <http://www710.univ-lyon1.fr/~jciehl/Public/educ/ENS/ch12_antialiassage.pdf&gt;

    C'est une partie d'un cours d'image, il n'y a pas de quoi casser 3 pattes à un canard mais si ça peut servir ...
  • Merci à tous c'est super sympa, je vais plancher sur ce que vous m'avez apporté.
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