Théorème de Shannon sur l'échantillonnage

Ce n'est pas le théorème de Nyquist ça ?

Et pourquoi "Capes" comme niveau ?

Ok pour le nom du théorème. Et prépa = bac + x, x < 2 donc le niveau est L1/L2 (ancien DEUG).

Pour la démo je l'ai lue mais je n'en ai aucun souvenir... Je regarderais dans mes archives quand je pourrai.

Va voir dans Willem "Analyse Harmonique" pour la preuve du théorème de Shannon sans le critère d'optimalité.

Soit f une fonction L2...
On note alors $\hat{f}(\mu) = \int_{R} f(x)e^{-2i\pi\mux}$ sa transformée de fourier...
On suppose que $support(\hat{f}) \in [-\Omega \Omega]$
Tu considères alors $\tilde{f}$ la periodisée de $\hat{f}$ de periode $2\Omega$
T'exprime alors $\tilde{f}$ à l'aide de sa serie de fourier...
$$ \forall x \in R, \tilde{f}(\mu) = \frac{1}{2\Omega} \sum_k C_k e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}} $$
avec

$$ C_k = \int_{-\Omega}^{+\Omega} \tilde{f}(\mu)e^{-\frac{i\pik\mu}{\Omega}} = \int_{R} \hate{f}(\mu)e^{-\frac{i\pik\mu}{\Omega}} = f(k/(2\Omega))
$$


Au final, $\forall \mu \in [-\Omega, +\Omega]$, on a
$$ \hat{f}(\mu) = \frac{1}{2\Omega} \sum_k f(k/(2\Omega))
e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}} $$


En premant la transformée de Fourier inverse de $ \hat{f}$, tu trouve alors

$$f(x) = \int_{-\Omega}^{+Omega} \hat{f}(\mu) e^{+2i\pi\mu x} $$
et donc
$$f(x) =\frac{1}{2\Omega} \sum_k f(k/(2\Omega) \int_{-\Omega}^{+Omega}e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}}e^{+2i\pi\mu x} $$




Conclusion : à partir d'un échantillonage de periode $1/(2\Omega)$ , tu peux reconstruire complétement f ou $\Omega$ représente la fréquence maximale de ton signal.
En faite la démonstration montre que lorsque tu échantillones ton signal avec une periode h, tu périodises la transformée de Fourier du signal avec une période de $1/h$. Pour ne pas perdre d'information sur f, il faut alors que le support de $\hat{f}$ soit compris dans l'intervalle $[-1/(2h), 1/(2h) ]$ ( Sinon il y a recouvrement...). Ceci implique donc que $\Omega \leq 1/(2h)$


elie

Pour une approche plutot intuitive (mais sans la rigueur mathématique !) voici un petit lien :

<http://www710.univ-lyon1.fr/~jciehl/Public/educ/ENS/ch12_antialiassage.pdf&gt;

C'est une partie d'un cours d'image, il n'y a pas de quoi casser 3 pattes à un canard mais si ça peut servir ...