connexité des valeurs d'adhérences
Bonjour à tous,
En attendant que le jury se décide ...
On sait que dans un métrique compact, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dont la distance entre deux termes consécutifs tend vers 0 est connexe.
Mais je ne vois pas d'application de ce résultat !!!
Quelqu'un en a-t-il une en vue ??
Merci
En attendant que le jury se décide ...
On sait que dans un métrique compact, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dont la distance entre deux termes consécutifs tend vers 0 est connexe.
Mais je ne vois pas d'application de ce résultat !!!
Quelqu'un en a-t-il une en vue ??
Merci
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Réponses
tu sais que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dans un espace métrique est un fermé
de plus, dans le cas particulier que tu précises,cet ensemble est connexe
ce sont là deux résultats intéressants qui se complètent
tu sais que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dans un espace métrique est un fermé
de plus, dans le cas particulier que tu précises,cet ensemble est connexe
ce sont là deux résultats intéressants qui se complètent
tu sais que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite dans un espace métrique est un fermé
de plus, dans le cas particulier que tu précises,cet ensemble est connexe
ce sont là deux résultats intéressants qui se complètent
On doit pouvoir utiliser ce lemme pour montrer la convergence de la méthode de Jacobi.
(si mes souvenirs sont bons, c'est une méthode pour trouver valeurs et vecteurs propres d'une matrice :
si on part d'une matrice $M=M_1$, à chaque itération on annule un terme hors-digonale (le plus grand par exemple) à l'aide d'une matrice orthogonale $O_n$ :
$$ M_{n+1}=O_n^{-1} M_n O_n$$
mais la somme des carrés des termes de la matrice reste constante. La norme$2$ se concentre alors sur la diagonale. Si on note $\Delta_n$ la matrice diagonale tirée de $M_n$, on peut montrer qu'elle converge (vers ce que l'on souhaite) en montrant qu'elle vérifie les hypothèses du lemme au dessus, en particulier qu'elle a un nombre fini de valeurs d'adhérence.
J'espère ne pas trop être à côté de mes pompes)
amicalement
Ce résultat n'est pas vraiment intéressant, mais c'est suffisamment compliqué pour y jeter un coup d'oeil.
<BR>je suis passé au lézard..mais ca ne serait pas cette suite? cf
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=205826&t=205826#reply_205826"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=205826&t=205826#reply_205826</a>
<BR>
<BR>enfin cette suite m'a posé des soucis. mais je me demande si ca ne sert pas ici finalement.<BR>
Par ailleurs, c'est un exercice classique de prépa de montrer que les valeurs d'adhrence d'une suite de réel qui vérifie u_{n+1} - u_n tend vers 0 est un intervalle. Le résultat présenté ici est donc une généralisation puisque les connexes de R sont les intervalles...
Vincent
Le poulpe, est-ce que tu as l'année du sujet de centrale ?
$$ A = \{ E(\sqrt{n}) | n \in \N \} \textrm{ est dense dans } [0,1] $$
où $E$ est la partie entière.
Ou d'autres résultats de ce genre :
$$ B = \{ \cos(\sqrt{n}\pi) | n \in \N \} \textrm{ est dense dans } [-1,1] $$
(dans le cas de $B$ la suite à considérer est donnée)
Dans mon ile lointaine je ne peux malheureusement pas me procurer facilement de livres de math, et le Ciarlet manque à ma bibliothèque. Si Le Poulpe se souvient de l'année du sujet de centrale pour la méthode de Jacobi, ça m'intéresse effectivement.
Les dernières idées de Klabouny me paraissent des illustrations simples du lemme sus-cité. Tout à fait ce que je cherchais pour la leçon d'exemples et d'applications de la connexité.
Cependant j'ai quelques doutes quant à la densité de A dans [0,1], puisque à ce que je comprends A=$\N$. Probablement qu'il fallait lire : racine de n - partie entière de racine de n. (Je ne connais pas le Latex et je n'ai pas trouvé la racine dans le mémento ci-dessous).
Merci encore,
Abigaelle.
$$ A = \{ \sqrt{n} - E(\sqrt{n}) | n \in \N \} \textrm{ est dense dans } [0,1] $$ \\
(ou alors il faut comprendre $E$ la partie fractionnaire...)
<http://centrale-supelec.scei-concours.org/CentraleSupelec/2000/MP/sujets/math2.pdf>
Après avoir lu cette phrase, je me suis senti tout bête. C'est vraiment un résultat que tout le monde connaît ? J'en avais jamais entendu parlé.
A kilébo:
Je pense que c'est un classique de la leçon de l'agrégation "connexité: exemples et applications". C'est un résultat qu'on trouve dans le Gourdon, et que j'ai lu systématiquement dans les quelques plans d'agrégatif que j'ai pu consulter. On ne sert pour le démontrer (pour ce qui concerne la connexité) que de l'inexistence d'une partition d'ouverts d'un connexe. D'où l'intérêt.
Mais c'est probablement un résultat qui m'aurait échappé si je ne préparais pas ce concours.
On note $l$ et $L$ respectivement les limites inférieure et supérieure de la suite $\{a_{n}\}$. On suppose que pour tout $n$, $a_{n+1}-a_{n}>-\alpha_{n}$ avec $\alpha_{n}>0$ et $\varlimsup\limits_{n\to+\infty}\alpha_{n}=0$. Alors tout élément de l'intervalle ouvert $\left]l\,,L\right[$ est une valeur d'adhérence de $\{a_{n}\}$.
Soit $\{a_{n}\}$ une suite croissante et strictement positive. Prouver que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite
\begin{equation*}
\frac{a_{n}}{n+a_{n}},\quad n\in\mathbb{N}^{*},
\end{equation*}
est un intervalle (réduit à un singleton en cas de convergence).
Alex.
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