Dirichlet : formulation variationnelle

bonsoir

dans le cadre de mon tipe, dont le titre est "Processus aléatoires et problème de Dirichlet", et qui est donc pour l'instant purement probabiliste, je veux faire un peu de calcul différentiel, histoire de montrer que je sais faire autre chose...

De plus, cela donne un côté physique à la chose, ce qui ne sera pas pour déplaire aux examinateurs je pense.

J'ai donc trouvé une démo de l'existence et de l'unicité de la solution au problème de Dirichlet s'appuyant sur des arguments d'analyse "classique" mais je voudrais savoir si elle est juste et aussi compléter des morceaux.

Soit $D$ un ouvert connexe de ${\R}^d$ et $V_0$ une fonction continue sur $\partial D$.
Posons $E = C^1(\bar{D},\R)$, $A = \lbrace V\in C^1(\bar{D},\R)| V_{|\partial D} = V_0\rbrace$
et $H = \lbrace V\in C^1(\bar{D},\R)| V_{|\partial D} = 0\rbrace$.

On munit $E$ du produit scalaire $(u|v) = \int_{\partial D} uv + \int_D (\nabla u|\nabla v)$ et de la norme associée.

$\to$ Point à eclaircir : $E$ est-il complet muni de cette norme?

Je pense que oui et que la preuve qui rend $L^2$ complet fonctionne encore...

En le supposant, on remarque que $A$, s'il est non vide (point à éclaircir aussi!), est un convexe fermé pour cette norme.
Il admet donc un unique élement de norme minimale $V_1$ . (d'après le théorème de projection)

Or cette norme vaut $\int_{\partial D} V_1^2 + \int_D ||\nabla V_1 ||^2$ et donc c'est l'unique élément qui rend la deuxième intégrale minimale, puisque la première est constante.

Alors, en différenciant $E: V\to \int_D ||\nabla V||^2$, (dans $A$), on tombe sur $dE_V(h) = \int_D (\nabla V|\nabla h)$.
SI le domaine $D$ est une partie simple, une intégration par parties permet d'obtenir $dE_V(h) = \int_D h\Delta V$.
Or $V_1$ est un minimum, intérieur à $A$ et donc $dE_{V_1}$ est nulle ce qui donne $\Delta V_1 = 0$ sur $D$.

merci de me donner vos avis

le poulpe