espaces de Sobolev
Bonsoir
Bon, mon année est bientôt finie mais je ne vais pas arrêter les maths pour autant !
J'ai récemment acheté le Mneimné en matière d'algèbre linéaire
mais, passé les oraux, je voudrais faire un peu d'espaces de Sobolev dont tout le monde dit tant de bien...
Connaissez-vous un bon livre pour y commencer, un équivalent du Rudin en gros ?
Quelque chose qui permette de comprendre la base mais qui aussi aille assez loin dans le sujet ?
Merci beaucoup
Bonne nuit
le poulpe
Bon, mon année est bientôt finie mais je ne vais pas arrêter les maths pour autant !
J'ai récemment acheté le Mneimné en matière d'algèbre linéaire
mais, passé les oraux, je voudrais faire un peu d'espaces de Sobolev dont tout le monde dit tant de bien...
Connaissez-vous un bon livre pour y commencer, un équivalent du Rudin en gros ?
Quelque chose qui permette de comprendre la base mais qui aussi aille assez loin dans le sujet ?
Merci beaucoup
Bonne nuit
le poulpe
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Réponses
Le Evans cité est celui intitulé : "Fine properties of functions" ?
Parce que si c'est ce bouquin, ça nécessite quand même une très grande maîtrise du sujet. Ce bouquin est génial, bien sûr, j'ai rarement vu un livre si bien écrit et avec tant de remarques pertinentes, mais le niveau de ce livre est très haut et pour débuter.
Je crois que les éditions Ellipses (dans la collection 2eme cycle) ont un petit bouquin qui doit s'appeler "Eléments d'analyse convexe". Ce livre contient une introduction aux espaces de Sobolev très lisible qui permet après de se jeter sur le Evans ou le Adams.
jn.
Je ne peux être qu'admiratif qu'un élève de spé se lance dans une telle aventure. (Mais prends pas la grosse tête, hien ;-)
Je te souhaite autant de plaisir que je peux en avoir à faire des Maths. D'autant que tu as certainement le talent qui me manque.
Pour revenir sur le sujet, personnellement la meilleure introduction que je connaisse des Espaces de Sobolev (et très progressive) est mon poly de Maîtrise de Paris VI obtenu lorsque j'ai passé la Maîtrise par correspondance. Désolé mais ça ne va pas t'aider beaucoup...
Topo : bof
Analyse fonctionnelle bof, moi à part Banach Steinhauss...
Théorie hilbertienne : je ne sais pas ce que c'est ! Tout ce que je sais là dessus est dans le Rudin : chap 4 si je me souviens bien
PS : Je dis ça pour savoir si c'est gérable avec mon niveau actuel ou s'il faut que j'approfondisse tout ça avant de m'y lancer.
Si c'est le cas alors connaissez-vous un bon bouquin qui traite de tout ça ?
Je verrai Sobolev après.
Mais effectivement si le poulpe souhaite passer directement à la case Sobolev : faut rajouter les distributions ;-)
Mais je m'incline ! Vu que tu es un spécialiste des Sobolev. Tu en parleras bien mieux que moi.
Et puis peut-être me dire quel genre de problèmes cela permet de résoudre ?
Merci
Lebesgue (humble élève de Math Spé)
Mais attendez, il faut savoir beaucoup de choses avant de rentrer dans les Sobolev !
$H^1(\Omega)={u\in L^2; \nabla u \in L^2 (au sens des distributions)$
Lebesgue : Pour donner une définition "simple" sans distributions des espaces de Sobolev, on commence par définir la dérivation faible. Pour simplifier je me place dans le cas d'une seule variable.
Si $1 \leq p \leq +\infty$, $\Omega$ est un ouvert de $\R^$, on dit qu'une fonction $f \in L^p (\Omega)$ admet la fonction $g \in L^p (\Omega)$ comme dérivée faible si et seulement si pour toute fonction $\varphi \in \mathbb{D}(\Omega)$ on a $\int_{\Omega} g \varphi = - \int_{Omega} f \varphi'$, où $\mathbb{D}(\Omega)$ est l'ensemble des fonctions de classe $C^{\infty}$ à support un compact $K$ inclus dans $\Omega$. On voit alors que $g$ est uniquement déterminée presque partout, donc bien définie comme élément de $L^p$, et que la définition prolonge celle pour le cas où $f \in C^1(\Omega) \cap L^p(\Omega)$ et $f' \in L^p( \Omega)$, il s'agit d'effecuter une intégration par parties. On note $g = \partial f$.
L'avantage est que cette nouvelle définition ne fait intervenir ni une véritable dérivation sur $f$, ni les valeurs ponctuelles de $f$, ce qui est plus cohérent avec la "philosophie" $L^p$ des fonctions définies presque partout. Et surtout elle est plus large : la fonction $f(x)=|x|$ n'est pas dérivable sur $\Omega=]-1,1[$ mais elle admet une dérivée faible dons $L^p(\Omega)$ pour tout $p$, en la personne de la fonction signe : $\mathrm{sgn}(x)=1$ si $x > 0$, $\mathrm{sgn}(x)=-1$ si $x < 0$, et $\mathrm{sgn}(0)$ vaut ce que vous voulez. Il est facile de vérifier que $\mathrm{sgn} = \partial f$.
L'espace de Sobolev $W^{k,p} (\Omega)$ est le sous-espace de $L^p (\Omega)$ formé des fonctions $f$ qui sont $k$ fois dérivables au sens faible, et dont les $k$ dérivées successives sont dans $L^p$. On le munit de la norme $||f||_{W^{k,p}(\Omega)} = \sum_{j=0}^k ||\partial^j f||_{L^p (\Omega)}$, qui le rend complet, bla bla bla.. pour la suite je te renvoie au Adams ou au poly de J.Y. Chemin évoqué par kilébo, ou aux nombreux cours évoqués sur le forum ; il te suffit de faire une recherche "cours+distributions+sobolev".
PS pour Alain, Bruno, ou un autre modérateur : pourriez-vous s'il vous plaît remplacer dans mon message les deux $\mathbb{D}(\Omega)$ par des $\mathcal{D}(\Omega)$ ? Je confonds toujours... Et histoire d'être perfectionniste, dans la deuxième intégrale il y a $Omega$ en indice là où il devrait y avoir $\Omega$. Merci d'avance !
"sans te soucier de la signification de ses éléments en termes de distributions ; évidemment c'est moins intéressant..."
PS pour les modos : c'est bien un $\Omega$ et pas un $Omega$, y compris dans mon PS précédent ;-)
$ \varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ on a $ \int_{\Omega} g \varphi = - \int_{\Omega} f \varphi'$, où $ \mathcal{D}(\Omega)$
La théorie des espaces de Sobolev est plutôt agréable à utiliser, mais elle est très technique, et je pense qu'il faut avoir un peu de recul sur l'analyse de L3 (inégalités usuelles, notions de topologie faible) pour comprendre ce que l'on y fait.
Pour commencer, le poly d'analyse de l'ens Cachan est très bon car il se place sur l'intervalle qui est un cas extrèmement simple. Tu peux essayer de regarder dans Brézis (attention quand même, c'est très dense), et dans "Sobolev Spaces" de Adams en prenant garde de ne pas t'acharner sur certains résultats très lourds à démontrer, et que tout le monde utilise sans y faire attention (densité des fonctions $C^{\infyt}$ par exemple, problème de régularité de l'ensemble de définition).
Merci pour vos réponses
Je crois que tout ça va attendre
J'ai mes limites quand même (...)
Va sur cette page :
<http://www.ann.jussieu.fr/~ledret/M2Elliptique.html>
Tu y trouveras l'excellentissime "Outil de Base en Analyse Appliquée".
Un bonheur pour toi pour gravir la montagne qui te sépare des Sobolev mais comme tout y est (la topologie, l'intégration de Lebesgue, les Hilbert, etc...), le chemin est tout tracé.
Bon courage à toi !
PS : Moi, je vais m'y remettre ! Ca me rappelle de trop bons souvenirs !
<http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/livre2.htm>l
" A wavelet tour of Signal Processing" de Stephane Mallat (un des "inventeurs" de la theorie des ondelettes fin annees 80/debut 90). C'est pas vraiment un bouquin de maths dans le sens ou c'est pas toujours rigoureux dans les definitions (mais il y a des preuves), mais par contre, c'est un des meilleurs bouquins que j'ai lu sur le traitement du signal, et il y a plein de liens entre differents sujets a priori differents (estimation statistique, Fourier, Distribution de Wigner Ville, ondelettes, approximation lineaire, non lineaire, representations redondantes). Si tu n'es interesse que par le cote mathematique, ca sera pas suffisant, mais interessant dans les liens faits entre differents concepts.
Il existe aussi en francais, que je ne connais pas, mais qui devrait etre de bonne qualite vu que Mallat est francais.
je dis juste merci pour le lien vers la page LeDret...
Enfin moi je suis plutôt un Spé qui aime bien l'algèbre (enfin pour l'instant!)... d'ailleurs, il traite de quoi ce Mneimné?
@+++ Duck69
je te conseille d'aller le voir
sinon il traite de réduction des endormorphismes
j'en suis au début avec Jordan et les tableaux de Young
mais après apparemment, il présente des représentations de groupes sous forme des groupes linéaires...
... ou pas ! On peut très bien vivre sans.
Du moins, sans vouloir provoquer les EDPistes du forum, il me semble qu'en sortant de spé, il y a des tas de choses à voir qui sont culturellement, au niveau second cycle, plus essentielles que les espaces de Sobolev (que l'on peut accessoirement définir avec de la transformée de Fourier, me semble-t-il). Parmi ces choses, et par goût personnel, je mettrais : l'algèbre un peu évoluée les probas et les stats, et se réconcilier avec la géométrie différentielle apres la taupe !
Une definition rigoureuse des differentielles, par exemple dans le contexte des espaces de Banach, est un autre sujet que je trouve interessant (je sais pas trop ce que recouvre le terme geometrie differentielle, mais j'aurais tendance a penser qu'une fois que tu vois la differentiation dans un espace de Banach, tu viens vite a la definition d'un "manifold", ce qui doit faire partie de la branche geometrie differentielle).
Pour Ben, en effet il faudrait que je goûte un peu à la géo. diff. mais y a-t-il des indispensables en la matière?
@+++ Duck69