isométrie infinitésimale

e=mc31 · April 2006

Bonjour
réf. Gonnord et Tosel Tome II p33

Il s'agit en gros de démontrer que si la différentielle d'une fonction f de classe C1 sur un ouvert connexe de $\R^n$ est une isométrie alors f est une isométrie

Pour cela en 2b) On utilise

$I=\int_{0}^{1} df(x_0+(t(x-x_0))(x-x_0)dt$

avec $t\in[0,1]$

Taylor donne $I=f(x)-f(x_0)$

On nous dit alors que $||I||=1$
pour moi il faut diviser par $||x-x_0||$ pour avoir ce résultat

Mais alors la conclusion comme quoi l'intégrande est constante ne donne plus le résultat escompté (isométrie affine locale) à cause de cette norme qui vient se rajouter:

en effet en t=0 on a

$df(x_0)(x-x_0)=(||x-x_0||)(f(x)-f(x_0))$ ce qui ne fait pas à priori de f une isométrie affine au voisinage de x0

bosio frederic0 · April 2006

Si je comprends bien, tu obtiens en fait $\Vert f(x) - f(x_0 ) \Vert = \Vert x - x_0 \Vert $ et tu doutes d'avoir une isometrie. Est-ce bien cela ?

e=mc31 · April 2006

ben oui!

tout dépend de ce que l'on entend par isométrie mais généralement il faut également que la fonction soit affine (ou linéaire)

LIautard4 · April 2006

Bonjour

Une isométrie :qui conserve les distances, de Rn dans Rn est affine

Cordialement

e=mc31 · April 2006

Liautard
C'est classique? Facile? Evident?

Bruno · April 2006

Bonjour e=mc3.

C'est évident car il y a conservation des barycentres, mais je ne répète plus la démonstration, je l'ai mise deux fois en moins d'un mois. D'autre part, la notion d'isométrie est relative aux espaces métriques, pas uniquement aux espaces affines. Autrement dit, une isométrie d'une espace affine est une application affine mais si le cadre est plus général...

Bruno

e=mc31 · April 2006

Merci

c'est vrai que c'est classique, mais j'étais tellement plongé dans mon problème..

Ceux qui ont le Tosel sous la main jetez y un oeil. On dirait qu'il redémontre ce résultat en faisant du calcul différentiel et en plus je ne vois pas comment.

LIautard4 · April 2006

Bonjour e=mc3

Vu le nombre de fois que Bruno a donné sa démonstration,fort astucieuse

je considère que pour ce site: c'est évident!

cordialement

e=mc31 · April 2006

je confirme c'est un grand classique que je connaissais depuis le CAPES...j'ai parlé un peu vite. En fait je me suis concentré sur la démo de Tosel qui, après avoir démontré la conservation de la distance, montre le caractère affine par du calcul différentiel et notamment par l'usage de Taylor et là je ne suis plus son raisonnement à cause de du produit par $||x_x_0||$ qui selon moi a été oublié, mais je suis sûr que c'est moi qui ne voit pas bien...

Bruno · April 2006

je confirme c'est un grand classique que je connaissais depuis le CAPES...j'ai parlé un peu vite. En fait je me suis concentré sur la démo de Tosel qui, après avoir démontré la conservation de la distance, montre le caractère affine par du calcul différentiel et notamment par l'usage de Taylor et là je ne suis plus son raisonnement à cause de du produit par $||x - x_0||$ qui selon moi a été oublié, mais je suis sûr que c'est moi qui ne voit pas bien...

adsj2 · April 2006

Bonjour
<BR>tu peux aussi voir ce lien pour une joli demo.
<BR>
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=249641&t=249559#reply_249641"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=249641&t=249559#reply_249641</a><BR>

e=mc31 · April 2006

Merci adsj
j'ai bien regardé le poste référencé.
J'ai plusieurs questions

1°)On fait l'hypothèse f(0)=0 . Mais f peu très bien être affine. Le raisonnement marche -t-il encore dans le cas où f(0) est non nul

2°)COmment Nono montre -t-il le fait que les x pour lesquels f est isométrique est un ouvert?

sinon pour le Tosel au 2b) je persiste à dire qu'il me semble qu'il y a une erreur de raisonnement

Alban · April 2006

Salut e=mc3,

Si f(0) est diff de 0, tu composes avec une translation...
Vu que tu révises j'imagine que tu prépares à aller à l'oral: alors bon courage !

LIautard4 · April 2006

Bonjour

la démonstration peut se faire rapidement

le fait que f ait pour dérivée une isométrie fait que /f(x)-f(x°)/<=/x-x°/
c'est evident sur ta formule I=...

f est un difféomorphisme local f^- 1 -1ayant pour dérivée un isométrie on

a /f-1(x)-f^-1(y)/ <=/x-y/

donc f est une isométrie locale donc une application affine locale

sa dérivée est donc localement constante donc connexité: constante

cordialement

Weber1 · May 2006

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Sonrick0 · May 2006

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Fulnet2 · May 2006

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Lochins2 · May 2006

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Reber2 · May 2006

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