suites
dans Analyse
Bonjour!
encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites reelles tel que:
$lim n\rightarrow \infty (u_n)²+ (u_n)(v_n)+ (v_n)²=0$
On veut montrer que $u_n$ converge vers 0 et que $v_n$ converge vers 0.
J'ai pose x la limite de $u_n$ et y la limite de $v_n$.
pour y fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$
delta= -3y²
et pour x fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$
delta= -3x²
les suites sont reelles; conclusion x=0 et y=0
donc $u_n$ et $v_n$ converge vers 0.
Est-ce correct?
et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites, tel que $0\leq u_n$ et $v_n \leq1$
et $lim n\rightarrow \infty u_nv_n=1$
que dire de $u_n$ et $v_n$
on obtient: 0\leq u_nv_n\leq u_n$ et le corrige conclue par:
par le theoreme des gendarmes $limu_n = limv_n=1$
là j'ai pas compris...
Merci d'avance
amicalement
encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites reelles tel que:
$lim n\rightarrow \infty (u_n)²+ (u_n)(v_n)+ (v_n)²=0$
On veut montrer que $u_n$ converge vers 0 et que $v_n$ converge vers 0.
J'ai pose x la limite de $u_n$ et y la limite de $v_n$.
pour y fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$
delta= -3y²
et pour x fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$
delta= -3x²
les suites sont reelles; conclusion x=0 et y=0
donc $u_n$ et $v_n$ converge vers 0.
Est-ce correct?
et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites, tel que $0\leq u_n$ et $v_n \leq1$
et $lim n\rightarrow \infty u_nv_n=1$
que dire de $u_n$ et $v_n$
on obtient: 0\leq u_nv_n\leq u_n$ et le corrige conclue par:
par le theoreme des gendarmes $limu_n = limv_n=1$
là j'ai pas compris...
Merci d'avance
amicalement
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Réponses
Desole pour le doublon ; je porte la poise sur le latex en ce moment, j'ai reverifie, je ne sais pas ce qui cloche:
Bonjour!
encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites reelles tel que:
$lim n\rightarrow \infty u_n²+ u_nv_n+ v_n²=0$
On veut montrer que $u_n$ converge vers 0 et que $v_n$ converge vers 0.
J'ai pose x la limite de $u_n$ et y la limite de $v_n$.
pour y fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$
delta= -3y²
et pour x fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$
delta= -3x²
les suites sont reelles; conclusion x=0 et y=0
donc $u_n$ et $v_n$ converge vers 0.
Est-ce correct?
et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...
soient $u_n$ et $v_n$ deux suites, tel que $0\leq u_n$ et $v_n \leq1$
et $lim n\rightarrow \infty u_nv_n=1$
que dire de $u_n$ et $v_n$
on obtient: 0\leq u_nv_n\leq u_n$ et le corrige conclue par:
par le theoreme des gendarmes $lim u_n = lim v_n=1$
là j'ai pas compris...
Merci d'avance
amicalement
je suis desole pour les moderateurs; pourrais-je avoir une courte explication de ce qui ne va pas dans ce code pour eviter de refaire l'erreur
merci.
encore dans des exos de suites; je voulais savoir si mon raisonnement etait correct ou non:\\
soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites reelles tel que:\\
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} (u_n^2+ u_n v_n+v_n^2)=0}$\\
On veut montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers 0.\\
J'ai posé $x$ la limite de $(u_n)$ et $y$ la limite de $(v_n)$.\\
pour $y$ fixe: on cherche les racines de $x²+xy+y²$\\
$\Delta= -3y²$\\
et pour $x$ fixe: on cherche les racines de $y²+xy+x²$\\
$\Delta= -3x²$\\
les suites sont réelles; conclusion x=0 et y=0\\
donc $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers 0.\\
Est-ce correct?\\
\\
et deuxieme exo; cette fois ci je ne comprends pas la correction...\\
soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites, telles que $0\leq u_n$ et $v_n \leq 1$\\
et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} u_n v_n=1}$\\
que dire de $(u_n)$ et $(v_n)$ ?\\
On obtient: $0\leq u_n v_n\leq u_n$ et le corrigé conclue par:\\
par le théoreme des gendarmes $\lim u_n = \lim v_n=1$\\
là j'ai pas compris...\\
\\
Merci d'avance\\
amicalement
$$u_n^2+u_nv_n+v_n^2=\left(u_n+\frac{v_n}{2}\right )^2+\frac{3}{4}v_n^2$$
Pour le second, montre que 1 est la seule valeur d'adhérence des suites x_n et y_n (je pense avoir bien compris que l'encadrement concerne x_n ET y_n).
pour l'exo 1 : l'égalité que je propose permet de régler le problème rapidement et "en une seule fois" comme tu dis.
pour l'exo 2 : pas la peine de chercher bien loin si on rectifie l'hypothèse dans le sens que j'ai indiqué : $0\leq u_nv_n\leq u_n \leq 1$ et $0\leq u_nv_n\leq v_n \leq 1$ : terminé..
Voici les deux exercices tel que je les ai lus :
<http://mpsiddl.free.fr/exosup.php>
Il faut aller dans série numériques et il s'agit des exercices 6 et 7 respectivement. Oui pour le premier la meilleure façon est celle que vous avez indiqué, je voulais juste savoir si on pouvait utiliser ce que j'avais fait dans le premier post.
Amicalement
dans l'exo 7 (ton deuxième exercice) de la référence que tu donnes, l'hypothèse sur les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ est bien celle que j'avais indiquée plus haut : c'est tout simplement que l'énoncé que tu avais sous les yeux l'exprime d'une façon exagérement "résumée". Je t'accorde qu'on pouvait s'y tromper.
pour l'exo 6 (ton premier exercice), l'indication que je t'ai donnée permet quand même d'obtenir une conclusion plus rapide que celle du corrigé proposé~:
$$u_n^2+u_nv_n+v_n^2=\left(u_n+\frac{v_n}{2}\right )^2+\frac{3}{4}v_n^2$$
est le carré de la norme euclidienne d'un vecteur de $\R^2$, et cette quantité tend vers $0$, d'où la convergence vers $0$ des composantes de ce vecteur (c'est d'ailleurs l'argument qui est utilisé à la fin du corrigé de ta référence).
Pour ce que tu as fait dans ton premier post : comme on te l'a fait tout de suite remarquer, ça prouvait (de façon toute de même assez compliquée) que, {\bf si} les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ étaient convergentes, {\bf alors} elles convergeaient toutes deux vers $0$, mais ça ne prouvait pas l'essentiel : leur convergence.