Espaces normés

Alors :
- si on se donne un espace de Banach, on sait que la norme provient d'un produit scalaire (et donc qu'on est en fait dans un Hilbert) si et seulement si l'égalité du parallélogramme est vraie.
Ca permet (par exemple) de prouver que l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme uniforme n'est pas hilbertien.

- métrique non normé : c'est le cas par exemple de l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de C. L'espace est non normable car les fermés bornés sont compacts, et est métrisable car la topologie est donné par une famille dénombrable de semi-normes.
Il me semble que c'est aussi que le cas pour l'espace des fonctions $k$ fois dérivables, muni de la convergence uniforme sur tout compact des dérivées.
Il est en général facile de montrer que la topologie est métrisable, par contre les démonstrations du fait qu'ils ne sont pas normables sont assez subtiles à mon goût.

- topologique non métrique : bon là c'est moins courant, surtout si on cherche des espaces utilisés dans la pratique. Je pense que c'est le cas pour l'espace des distributions sur un ouvert de $R^n$. Il est muni de la topologie faible-étoile, qui (il me semble) n'est pas métrisable. Elle n'est sûrement pas normable à cause de Banach-Alaoglu. Je vais vérifier.


Ce sont des questions très intéressantes en tout cas !

Mais je n'étais pas loin ! L'espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact muni de sa topologie naturelle n'est pas métrisable. Sa topologie correspond à la notion de convergence suivante :

Soit $(\varphi_n)$ une suite de fonctions $C^{\infty}_0$. $\varphi_n$ tend vers $\varphi\in C^{\infty}_0$ si :
- il existe un compact $K$ de $\mathbb{R}^n$ tel que supp $(\varphi_n)\subset K$ pour tout $n$.
- pour tout multi-indice $\alpha$, $D^{\alpha}\varphi_n$ tend uniformément vers $D^{\alpha}\varphi$.

(Il est par contre intéressant de noter que, étant donné un compact $K$, l'espace des fonctions $C^{\infty}$ de support égal à $K$ est lui un espace de Banach, pour la topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées, et la norme naturelle qui va avec.)

Intuitivement, la notion de convergence ci-dessus est extrêmement lourde (surtout la première condition), ce qui fait qu'il y a beaucoup d'ouverts dans la topologie; il y en a en fait trop pour que ce soit métrisable. Les espaces métriques n'ont "pas trop" d'ouverts; chaque point possède en effet une base de voisinages dénombrables (les boules ouvertes de rayon $1/n$ par exemple). Ceci n'est pas une preuve attention, mais un bon moyen mnémotechnique.

"Les topologies de Whitney et de Schwartz sur les espaces de Schwartz de fonctions $ C^{\infty}$ décroissantes à l'infini plus vite que n'importe quelle puissance de x ainsi que leurs dérivées ne sont pas métrisables

mais par contre ça ne dit pas que l'espace lui meme n'est pas métrisable"


J'avoue que je ne comprends pas trop. L'interêt est bien de trouver une distance qui redonne la topologie naturelle de l'espace; sinon n'importe quel espace est métrisable, vu qu'on peut toujours définir une distance. Ou alors je n'ai pas compris ce que tu disais...

Ton dernier post me parait convaincant pour montrer que l'espace de Schwartz avec sa topologie naturelle est métrisable; c'est même la démonstration standard pour montrer qu'un espace dont la topologie est donnée par une famille dénombrable de semi-norme est métrisable.

Pour l'espace de Schwartz, la topologie avec les semi-normes est utilisée car pour cette topologie le dual est l'espace des distributions tempérées. Elle permet de transférer les propriétés de la transformée de Fourier qu'on obtient facilement sur le Schwartz vers les distributions tempérées. Mais je ne connais pas les deux autres topologies dont tu parles...

Je suis d'accord pour dire que "topologie naturelle" n'est pas un concept mathématiquement bien défini. Cependant, on définit l'espace de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ comme :
$$\{f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{C},f\ C^{\infty}\,,\,\sup_{\mathbb{R^n}}\|x^{\alpha}D^{\beta}f\|