Unicité solution d'équa diff sans Cauchy

Bonjour tous le monde de ce Forum,
Je vous serais reconnaissant de me donner une indication sur la preuve ou un contre exemple:
On sait d'aprés un résultat de calcul différentiel que si on se donne une equation différentielle de deuxième ordre et on donne la valeurs de la solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$ alors on peut affirmer que la solution est unique.
Je pose le problème de la façon suivante:
On se donne une equation différentielle de deuxième ordre et sachant que j'ai démontré que ses solutions appatiennent à $L^{2}(R)$. Si j'impose la condition suivante :
La norme 2 de ma solution soit égale à 1 au lieu de donner la valeurs de cette solution en un point $x_0$ ainsi que la valeur de sa dérivée au même point $x_0$.
NB: Je veux dire par norme 2 d'une fonction $f\in{L^{2}(R)}$ le réel suivant:
$$||f||_{2}=\left(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt\right)^{1/2}$$
Ma question est: Est ce que j'aurais l'unicité de la solution comme dans le premier cas.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni