homéomorphisme sphère-plan

Il y a le theoreme de l'invariance des domaines qui dit que si tu prends une application continue et injective d'une variete dans une autre variete de meme dimension, elle est ouverte. Ici, pour n=2, tu as le resultat.

Si tu veux te passer de ce theoreme, tu peux y arriver dans le plan en regardant l'indice de l'image d'un petit cercle autour d'un point par rapport a l'image du point. S'il n'etait pas nul, tu pourrais, en haut(i.e.dans la sphere), contracter ce petit cercle sur un point en evitant le point que tu as pris au depart (et en ne s'eloignant pas trop), ce qui est impossible. Donc l'image des cercles proches d'un point tourne bien autour de l'image du point, ce qui te garantit que ton application est bien ouverte.

Sauf erreur de ma part, la réponse de Frédéric est assez simple. L'idée est de prendre un point A du plan et un cercle centré sur ce point. Par homéomorphisme, on obtient un point B de la sphère et une courbe. Par déformation continue, on peut déformer la courbe pour la ramener à un point, par exemple diamétralement opposé à B. Mais ce n'est pas possible dans le plan, le seul point auquel on peut rammener continuement le cercle est A.
Quand à prouver cela précisément, c'est sans doute moins évident (cf "Carré et triangle", sur ce forum).

Cordialement

g : il faut quand même prouver que H²(toute partie du plan)=0...

Parce que que la sphère ne soit pas homéo au plan tout entier, c'est assez facile...

desolé c'est juste... j'ecris toujours trop vite
desole desole

Je corrige un point qui paraît ambigu à la lecture : je parle parfois du disque D₁ quand il faut parler du cercle C₁ qui est la frontière du disque D₁.

Pour tout point x de |R² dont la norme est strictement supérieure à 1, on prolonge h en h' en attribuant à x la valeur de son point homothétique sur C₁.

(...) après mûre réflexion, voici comment je "vois" la démonstration. On pose :

(*) S₂ = la sphère centrée sur 0 et de rayon 1 dans |R³, c'est-à-dire : les points (x,y,z) avec x²+y²+z²=1
(*) D₁ = le disque centré sur 0 et de rayon 1 dans |R², c'est-à-dire les points (x,y) avec x²+y² <= 1
(*) C₁ = le cercle centré sur 0 et de rayon 1 dans |R2, c'est-à-dire les points (x,y) avecx²+y² = 1

C1 est la frontière de D1.

Soient alors sur le disque A = (-1; 0) et B = (0; 1), [AB] est le diamètre du disque sur l'axe des x.

S'il y a un homéomorphisme entre le disque et la sphère, alors soient A' et B' les images de A et de B, avec nécessairement A' <> B' (puisque A<>B)

Appliquons à la sphère deux rotations (bijections continues |R² dans |R², donc la composition avec l'homéomorphisme est toujours un homéomorphisme) de telle sorte que A' = (-1; 0; 0) et B' = (x, 0, z) avec z>0 et notons (A',B') l'arc de cercle reliant A' à B' (pour "visualiser", l'arc (A',B') est un bout de méridien partant de l'équateur et restant dans l'hémisphère nord).

Il est clair que S₂ - (A',B') est connexe, car pour tout point P' de la sphère, on peut rejoindre le pôle sud en suivant un méridien et en se dirigeant toujours vers le sud (donc sans jamais rencontrer (A',B') et par conséquent on peut relier deux points quelconques P' et Q' en combinant les deux trajets.

Par l'homéomorphisme, cela impose à l'image réciproque de (A',B') de laisser le disque connexe, ce qui force cette image à être le demi-cercle reliant A à B (c'est là où c'est visuel, il faudrait démontrer formellement que tout chemin qui relie A à B en passant par l'intérieur du disque partage le disque en deux parties disjointes). Pour fixer les idées, supposons que ce soit le demi-cercle inférieur (passant par le point (0; -1)).

Le même raisonnement fait que l'arc de cercle (B',A'), le parcourt du méridien en partant de B' et en allant vers A' tout en suivant le même sens que (A',B') (c'est-à-dire : (A',B') U (B',A') = le tour de la sphère par le méridien = le cercle de rayon 1 avec y=0) a pour image réciproque le demi cercle reliant B à A, "opposé" au demi-cercle précédent, c'est-à-dire le demi-cercle haut passant par (0; 1), ce qui fait que la réunion des deux demi-cercles est exactement égale à C₁

Or le disque D₁ - C₁ est connexe (on relie tout point P et Q intérieur au disque par le segment [PQ]), alors que la sphère moins le tour complet du méridien n'est pas connexe (deux demi-sphères disjointes, on démontre facilement que le point (0; 1; 0) se relie à (0; -1; 0) par un chemin continu pour lequel il existe un point (x, 0, z) - théorème des valeurs intermédiaires - donc coupe le méridien y=0).

Par conséquent l'homéomorphisme n'existe pas.