Etude de fonction...
J'ai besoin d'un petit coup de main.
Voici le sujet :
Une fonction f : [0,1] -> R+, x -> f(x), vérifie :
- sa dérivée f'(x) < 0 ;
- l'opposé de son élasticité est supérieur à 1 : - x f''(x) / f'(x) > 1.
Voici ma question : ces propriétés impliquent-elles, comme je le crois, que f(x) tend vers l'infini quand x tend vers 0 ?
Voilà. C'est tout.
Peut-être pas transcendant, mais ça m'aiderait bien.
Merci.
Seb.
Voici le sujet :
Une fonction f : [0,1] -> R+, x -> f(x), vérifie :
- sa dérivée f'(x) < 0 ;
- l'opposé de son élasticité est supérieur à 1 : - x f''(x) / f'(x) > 1.
Voici ma question : ces propriétés impliquent-elles, comme je le crois, que f(x) tend vers l'infini quand x tend vers 0 ?
Voilà. C'est tout.
Peut-être pas transcendant, mais ça m'aiderait bien.
Merci.
Seb.
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Réponses
$\forall a \in ]0,1], \; f(a) < f(1) + f'(1) \ln(a)$
d'où une limite de $-\infty$ en 0.
Comme f(x) est positive et décroissante sur [0,1], elle a un max en 0 (atteint ou pas) et un minimum en 1.
<BR>concernant f'', je ne suis pas persuadé qu'il faille une hypothèse particulière puisque f''/f' me paraît intégrable.<BR>
Je me tais.
La question est à poser correctement :
*Soit f est définie et dérivable sur [0,1] (fermé en 0) et elle est continue, donc sa limite en 0 est f(0);
*Soit l'énoncé est f est définie et dérivable deux fois sur ]0, 1] et on cherche ce qu'elle fait en 0. J'imagine que c'est ta question ?
Cordialement
Oui, merci pour cette clarification. L'énoncé initial est imprécis.
La question est bien : si une fonction f vérifie les propriétés données (sur f' et f'') sur ]0,1], peut-elle avoir une limite finie en 0 ?
Cordialement.
$ \frac{f"(x)}{f'(x)} \leq \frac{-1)}{x}$
En intégrant on trouve ln |f'(a)| >= ln|f'(1)| - ln (a) qui donne, en tenant compte du signe de f' : $\f'(a)\leq \frac{f'(1)}{a}$ où a est quelconque dans ]0, 1 ]. Donc on peut intégrer à nouveau $\f'(x)\leq \frac{f'(1)}{x}$ de a à 1 et obtenir
$ f(a) \geq f(1) + f'(1) ln(a) $
qui justifie que f tend vers l'infini en 0.
Tu vois, guiguiche, tu étais presque au but.
Cordialement
$ \frac{f"(x)}{f'(x)} \leq \frac{-1)}{x}$
En intégrant on trouve ln |f'(a)| >= ln|f'(1)| - ln (a) qui donne, en tenant compte du signe de f' : $\ f'(a)\leq \frac{f'(1)}{a}$ où a est quelconque dans ]0, 1 ]. Donc on peut intégrer à nouveau $\ f'(x)\leq \frac{f'(1)}{x}$ de a à 1 et obtenir
$ f(a) \geq f(1) + f'(1) ln(a) $
qui justifie que f tend vers l'infini en 0.
Tu vois, guiguiche, tu étais presque au but.
Cordialement
Texte rectifié(du moins j'espère)
Avant de l'étudier plus en détail, il me semble qu'on peut aussi en conclure que si on change la propriété sur l'élasticité en 0 < - x f''(x) / f'(x) < 1, on aboutira à la conclusion inverse, que f(0) est forcément définie ?
Merci encore. Cordialement.
D'autre part, je ne vois pas bien quelle utilisation on peut faire de cette inégalité.
Je suis parti d'un problème d'optimisation, où il s'agit de minimiser la fonction objectif :
f(x) + g(y) + a x y,
où : a > 0 est un paramètre ; x et y sont les variables de contrôle.
L'inégalité donnée ci-dessus, imposée à f et g, permet de convexifier la fonction objectif et garantit l'unicité de la solution.
Cordialement
" on aboutira à la conclusion inverse, que f(0) est forcément définie " Je n'en suis pas sûr. L'inégalité finale s'inverse, mais elle ne permet pas de prévoir quoi que ce soit sur la limite de f en 0, car on sait seulement que f(a) est inférieur à une quantité qui tend vers l'infini.
Pour Guiguiche :
Le calcul est assez subtil, car il faut tenir compte du signe de f'(x), qui est négatif. En particulier quand on passe de |f'(a)|>= |f'(1)|/ a à l'inégalité sur f'(a) et f'(1), il faut penser qu'on multiplie par -1, ce qui change le sens de l'inégalité.
Cordialement à tous deux