réf pour Atelier Maths ?

NN0 · February 2006

Salut à tous,

Il vient de se monter dans mon lycée un partenariat avec l'Université Paris 6 pour recruter des élèves désireux de s'engager dans des études scientifiques, sans considération de leurs résultats au bac (hormis bien sûr l'admission).
Le recrutement s'effectue en trois temps:
- information
- détection des élèves motivés
- recrutement sur commission mixte après entretien.

Dans cette optique, nous montons un Atelier Sciences. Sont prévues diverses visites (IRD, Paris 6, un labo...), des interventions extérieures. Nous souhaitons également évaluer la motivation (et les "compétences") des élèves en leur demandant de plancher sur un thème (procédé très vaguement homologue aux TPE). Basiquement, il s'agirait de leur demander de faire la synthèse d'un article de vulgarisation scientifique portant sur des recherches relativement actuelles.

Le problème, c'est qu'en maths, les articles de recherche, même fortement vulgarisés, me semblent hors de portée d'élèves de TS.

A brûle-pourpoint, quelques idées me sont venues, dénuées de références précises:
- "Histoire" des nombres complexes
- Machines, calculatrices, erreurs d'arrondis
- Un truc d'arithmétique pour les Spé Maths: cryptographie ou autres (je suis sûr que Borde a plein d'idées...)
et comme ça, c'est à peu près tout (mais je suis sûr qu'il y a plein d'autres choses...)

Je suis donc à la recherche (et preneur) de toute proposition de thèmes et/ou de références.

Merci d'avance à toutes celles et ceux qui me répondront.

NN

borde · February 2006

Bonjour NN,

Je me permets de te répondre puisque tu m'as cité :-)

D'abord, un point sur lequel je partage tout à fait ton avis : le moindre article sur les recherches actuelles n'est pas à la portée d'un élève, disons moyen, de TS.

Ceci dit, l'arithmétique peut s'adapter à beaucoup de niveaux, et ce sans être nécessairement triviale. Voilà ce qui me vient à l'esprit pour l'instant :

1. Ton idée de faire une synthèse sur le système RSA (par exemple) me semble bonne.

Thèmes plus mathématiques :

2. Le théorème de Lamé (complexité de l'algo d'Euclide).

3. Des suites comportant une infinité de nombres premiers entre eux. A ce sujet, je te suggère l'article d'Edwards suivant : \lien {http://www.emis.de/cgi-bin/zmfr/ZMATH/fr/quick.html?first=1&maxdocs=3&type=html&an=0125.02105&format=complete}

Ces suites peuvent être utilisées pour démontrer l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers, comme l'a fait Polya en utilisant la suite de Fibonacci.

4. La divergence de la série $\displaystyle {\sum_{p} \frac {1}{p}}$. Je la fais chaque année (j'ai posté ici-même la preuve il y a environ 15 jours), et cela ne semble pas (trop) poser de problème, apparemment (!).

5. Le lemme de Thue et l'algorithme de Serret pour la décomposition de nombres premiers $p \equiv 1 \pmod 4$ en somme de deux carrés.

Voilà quelques sujets qui me sont venus en tête, si j'en ai d'autres, je reviendrai dessus.

Bon courage,

Borde.

Eric · February 2006

En théorie de Ramsey sur les nombres entiers (ou même simplement sur l'utilisation du principe de Dirichlet), il y a pas mal de choses abordables et qui permettent très vite de voir les capacités de réflexion des élèves.

NN0 · February 2006

déjà merci pour ces conseils.

2 remarques:

- je n'enseigne pas personnellement aux TS donc je ne suis pas précisément au fait de ce qu'ils savent ou ne savent pas. Par ailleurs, l'arithmétique n'a jamais vraiment été, sinon ma tasse de thé, du moins mon fort, et les choses suivantes résonnent en moi d'une douce mélodie mais dénuée de contenu: Lamé, Thue, Serret, Ramsey. Que nada?

- une remarque d'ordre méthodologique. Ca n'est pas encore tout a fait clair dans nos têtes, vu que le projet en est à ses premiers balbutiements, mais je ne crois pas que l'objectif d'un tel travail pour les élèves soit de leur faire faire des maths (ou de la physique ou de la bio) au sens technique du terme. Je crois plutôt qu'il s'agit de jauger la capacité des élèves, à partir de leurs connaissances limitées, à appréhender un sujet qui dépasse leurs compétences (je ne sais pas si je suis clair...).

En ce sens, la divergence de la série des 1/p, exercice hautement formateur, me semble peu pertinente vu les objectifs (flous).

Pour la complexité de l'algo d'Euclide, ok (et je suis preneur d'une référence...).

Par contre, la décomposition en somme de deux carrés risque de leur passer un peu au-dessus de la tête, non?

Idem pour les suites comportant une infinité de nombres premiers entre eux. Si c'est pour démontrer l'infinitude des nombres premiers, c'est esthétiquement très satisfaisant pour un "mathématicien" un peu expérimenté, mais les élèves de TS savent le faire par l'absurde en trois lignes. (Au passage, je n'arrive pas à lire l'article, Borde. C'est sans doute payant ou je suis polio - ou non exclusif).

En tout cas, merci.

NN

borde · February 2006

Ce ne furent que des idées émises au gré de mes pensées du moment...Il y a aussi tout ce qui concerne les suites de Fibonacci (utilisées, d'ailleurs, dans le théorème de Lamé), en relation avec les SVT, par exemple. Je me souviens aussi d'un TPE, que j'avais lancé, sur les propriétés fractales des diviseurs de (presque) tout entier naturel.

Jauger des élèves à appréhender un travail qui dépasse leurs compétences n'est en fait pas une mince affaire (voir les discussions sur ce forum sur les TPE / TIPE). Il faut d'abord, effectivement, se mettre d'accord que ce que tu veux juger. L'article d'Edwards, dont le t'ai mis les références ci-dessus (qu'il faut commander si tu passes par ZentralBlatt), a pour intérêt le fait que c'est un article de recherche écrit en utilisant des outils élémentaires, théoriquement à la portée de tes élèves. L'idée de démontrer l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers n'est qu'une application que l'on n'est pas obligé de traiter, bien sûr.

Les revues comme Tangente et/ou Quadrature proposent des articles à la portée de nos élèves. Peut-être y dénicheras-tu des textes intéressants (en géométrie, par exemple).

Quant au théorème de Lamé, il y a un bon texte, sous forme d'exercice, dans le livre de Terminale S spécialité de la collection "Hyperbole" de Nathan (ex. 158 page 37). Ce texte provient d'un travail effectué par l'IREM de Clermont-Ferrand : Bruno pourrait peut-être alors t'aider. D'une manière générale, les IREM proposent également des textes susceptibles de t'aider dans ta lourde, mais intéressante, tâche.

Borde.

NN0 · February 2006

Un grand merci pour tes précieux conseils, Borde. Je vais essayer de creuser toutes ces questions.

Au passage, les "critiques" formulées dans mon précédent fil ne sont pas des vraies critiques, tant j'ai été imprécis sur les objectifs. De toute façon, toutes les idées sont les bienvenues.

NN

borde · February 2006

Ne t'inquiète pas, j'ai parfaitement compris ce que tu voulais dire, d'autant que j'étais persuadé que les idées émises ne pouvaient pas toutes être mises en oeuvre (on a tous fait des TPE pour avoir compris cela).

En tout cas, je trouve la démarche de ton établissement très intéressante, au sens où vous allez vous donner un outil pour redonner aux élèves le goût de (re)faire des maths, et des sciences plus généralement.

Je pense que les professeurs d'enseignement supérieur devraient vous en savoir gré.

Borde.

Longjing · February 2006

Bonjour,
 
 Je me permets une ou deux remarques dans le fil de la discussion :
 
 <UL><LI>Le théorème de Lamé : effectivement on trouve une référence dans le cadre d'une publication de l'IREM de Clermont, par R. Noirfalise, il me semble. <a href=" http://wwwmaths.univ-bpclermont.fr/irem/lycee/arithmetique/pdf/lame.pdf"> http://wwwmaths.univ-bpclermont.fr/irem/lycee/arithmetique/pdf/lame.pdf</a>
 </LI><LI>dans la même veine, un article proposé par JF Bilgot, toujours dans l'académie de Clermont, sur les suites de Farey.
 </LI><LI>Olivier, cela ne te donne pas une idée pour chez nous ?
 </LI></UL> [Longjing, Noirfalise s'appelle Robert, pas Nicolas :-)) Bruno]

jaybe · February 2006

Le système RSA a été abordé lors du dernier atelier Hippocampe organisé par l'IREM de Luminy. Un peu de pub au passage ne fait pas de mal...

<http://iml.univ-mrs.fr/~mrd/Hippocampe/hippoweb_index.html>

borde · February 2006

Il me semblait bien que Jean-Jacques (alias Longjing) n'allait pas rester de marbre lorsque j'ai parlé de l'IREM de Clermont-Ferrand ! Quant à l'idée, exploitable chez nous, tu sais bien qu'on en a une autre, qui n'est pas trop mal non plus, non ? Mais c'est à toi d'en parler.

Merci aussi à Jaybe, qui confirme le potentiel des IREM que j'avais évoqué plus haut.

A +

Borde.

NN0 · February 2006

>En tout cas, je trouve la démarche de ton établissement très >intéressante, au sens où vous allez vous donner un outil pour redonner >aux élèves le goût de (re)faire des maths, et des sciences plus >généralement.

Oui, c'est d'ailleurs l'un des objectifs nommément cités par le Directeur des formations de P6 qui est venu nous rencontrer.
L'avantage de ce partenariat, c'est qu'il y a une carotte au bout du bâton pour nos élèves: intégrer P6, et ainsi passer outre la sectorisation des facs et le parcours du combattant pour changer d'université. Cette mesure ne profitera qu'à 5 ou 6 élèves, mais c'est déjà énorme. Après, il y aura toujours des gâte-plaisir qui diront que ce genre de dispositif contribue à piller les facs de banlieue de leurs meilleurs étudiants. Je n'évacue pas le problème, mais je considère que tout est bon à prendre pour permettre à nos élèves les plus motivés d'intégrer des facs ou écoles "prestigieuses", et aussi, et surtout, de montrer à tous les autres qu'ils peuvent s'en sortir s'ils se donnent les moyens de leurs ambitions (et les ambitions de leurs moyens).
Pour en revenir à la carotte, je crois malheureusement qu'elle est nécessaire. D'expérience, faire des choses de façon purement gratuite et désintéressée remporte en général peu de succès auprès de nos élèves (et après tout, c'est bien compréhensible).

Et merci à Longjing pour la ref.

NN

borde · February 2006

Oui, je suis bien d'accord !

Borde.

The Velho0 · February 2006

Une idée : Proofs from THE BOOK (en français : Raisonnements Divins) de Martin Aigner et Günter Ziegler chez Springer-Verlag.

NN0 · March 2006

Salut à tous,

Je reviens à la charge.
Le temps commence à presser, et on n'a pas grand chose de solide à proposer aux élèves. J'ai une quantité de documents intéressants sur des sujets variés, mais qui me semblent difficiles pour des TS (nos élèves sont loin d'être des kadors, et il s'agit aussi de ne pas les rebuter).

En résumé, ce qu'on a:
- un truc autour de "Calculatrices et erreurs d'arrondis" à partir d'une suite hyper sensible à la condition initiale: très instructif!

- un truc autour de la cryptographie devrait être faisable;

- un truc sur les équations algébriques, Cardan, Ferrari et au-delà, avec aperçu historique;

Ce qu'on cherche:
- un truc sur l'infini en mathématiques, axé sur la version cantorienne: set theory, bijections, dénombrabilité, jusqu'à (qui sait?) l'hypothèse du continu. Si qqun avait un document là-dessus, bien fait et pas trop long, utilisable pour des TS tel quel ou avec modifications mineures, je lui en serai reconnaissant jusqu'à la nuit des temps.

- il serait bon aussi d'avoir un thème d'analyse, mais ça se corse, il faut bien dire qu'en Terminale, on ne sait pas encore grand chose.

Voili voilou, et re-merci d'avance,

NN

TheVelho · March 2006

{\it ``Ce qu'on cherche:
- un truc sur l'infini en mathématiques, axé sur la version cantorienne: set theory, bijections, dénombrabilité, jusqu'à (qui sait?) l'hypothèse du continu. Si qqun avait un document là-dessus, bien fait et pas trop long, utilisable pour des TS tel quel ou avec modifications mineures, je lui en serai reconnaissant jusqu'à la nuit des temps.}

Je répète : Une idée : Raisonnements Divins (en anglais : Proofs from THE BOOK) de Martin Aigner et Günter Ziegler chez Springer-Verlag.

Y'a plein de chapitres très intéressants de maths très variées, dont un sur ce que tu cherches (qui reprend tout à zéro).

Maintenant ce ne sont pas des notions hyper poussées donc ça doit se trouver sur internet (wikipedia, planetmath, mathworld) et c'est pas trop dur de faire une synthèse sur les concepts de base de cette théorie (ce qui est magistralement fait dans le livre cité ci-dessus).

Je crois aussi que pour ce sujet il est important de bien faire voir aux élèves quel est le but de tout ça avant d'axiomatiser (même de parler de bijection, ce qui semble vraiment naturel une fois qu'on a compris mais beaucoup moins avant). Leur dire des trucs du genre ``autant d'entiers pairs que d'entiers ou de rationnels, plus de réels... etc...''.

TheVelho · March 2006

Oups, la discrète case LaTeX a été oubliée dans mon précédent post...
 
 Quelques adresses :
 
 Sites en anglais :
 <a href=" http://en.wikipedia.org/wiki/Countable"> http://en.wikipedia.org/wiki/Countable</a>
 <a href=" http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity"> http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity</a>
 <a href=" http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number"> http://en.wikipedia.org/wiki/Aleph_number</a>
 <a href=" http://planetmath.org/encyclopedia/AlephNumbers.html"> http://planetmath.org/encyclopedia/AlephNumbers.html</a>
 
 Wiki fr :
 <a href=" http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini"> http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini</a>
 
 Des PDF
 <a href=" http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/logique/cardinaux.pdf"> http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/logique/cardinaux.pdf</a>
 <a href=" http://www-math.univ-fcomte.fr/pp_Annu/FAMMARKHODJA/Infini.pdf"> http://www-math.univ-fcomte.fr/pp_Annu/FAMMARKHODJA/Infini.pdf</a>
 <a href=" http://membres.lycos.fr/atomekid/IMG/pdf/transfini.pdf"> http://membres.lycos.fr/atomekid/IMG/pdf/transfini.pdf</a>
 
 Google :
 <a href="http://www.google.fr/search?hs=p3K&hl=fr&safe=off&client=firefox-a&rls=org.mozilla:fr:official&q=bijection+transfini+filetype:pdf&btnG=Rechercher&meta="> http://www.google.fr/search?hs=p3K&hl=fr&safe=off&amp... </a>

NN0 · March 2006

Merci infiniment, je regarde tout ça.

NN

TheVelho · March 2006

Sur le site <http://dma.ens.fr> il a aussi ordinaux.pdf et zf.pdf qui pourraient t'intéresser.

NN0 · May 2006

Salut à tous,

Je remonte le post juste pour raconter la fin de l'histoire...

La 1ère séance de notre Atelier des Sciences a eu lieu le 15 mars. Les élèves volontaires sont venus tous les mercredi après-midi (25 au début, 16 à la fin). Au menu, visite de P6, visites de labos, visite de l'Institut de Recherche pour le Développement, intervention d'un doctorant, et les élèves ont planché sur un article scientifique (par exemple, la crise permo-triasique, la datation des vins par le césium 137, le big bang, ... et en maths, calcul approché d'intégrales, l'infini en mathématiques et la cryptographie RSA). Ceci sanctionné par un oral d'admissibilité interne.

Samedi dernier, le directeur des formations de P6 est venu avec une équipe d'enseignants-chercheurs pour l'entretien avec les élève. Nous en avons présenté 13 et P6 en a recruté... 13! Autant dire qu'on est pas peu fiers! Ce qui est un peu dommage, c'est que visiblement les 3 autres lycées partenaires se sont contentés de juger sur dossier scolaire, ce qui me semble un peu light pour détecter la motivation réelle des élèves.

M'enfin, si cette expérience s'avère concluante (ie si mes élèves réussissent leurs études à la fac), et il n'y a a priori aucune raison pour qu'elle ne le soit pas, ce type de partenariat ne pourra que se développer à l'avenir.

En tout cas, merci à tous ceux qui sont intervenus pour me donner des idées.

NN

Gilles old · May 2006

A propos des décompositions en somme de carrés : <a href=" http://auriolg.free.fr/doc/sommes_carres.pdf"> http://auriolg.free.fr/doc/sommes_carres.pdf</a>.

borde · May 2006

Bravo à NN pour cette idée brillamment réalisée et montée. La conclusion de cette histoire ne peut que nous rendre optimiste quant à la formation scientifique en France.

Borde.

NN0 · May 2006

Quand tu dis "optimiste", tu veux parler de l'optimisme en temps de crise?

.
disons en tous cas que c'est très enthousiasmant, et que personnellement, c'est la première fois que je peux récolter directement et immédiatement les fruits d'un travail (collectif) qui a demandé pas mal d'investissement, et ça c'est excellent pour tout le monde, les profs comme les élèves. Comme disent les pros du marketing, c'est gagnant-gagnant...

borde · May 2006

Le mot "optimiste" est à prendre au sens suivant : que ce soit en Mathématiques ou en Sciences Physiques, les effectifs des premières années de l'enseignement supérieur en ces domaines a gravement chuté ces dernières années. Des actions comme la tienne vont donc dans le bon sens.

Ce n'est, bien sûr, que mon opinion.

Borde.

réf pour Atelier Maths ?

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