Th fondamental algèbre, th Liouville

Réponses

• egoroff

  February 2006

  Bonsoir TheVelho,
  
  Ton site est joli ! Il ne reste plus qu'à le remplir un peu. Pour en revenir à ton pdf : ne faudrait-il pas expliquer pourquoi Q peut s'écrire sous la forme d'une série entière de rayon de convergence infini ? Ca ne me paraît pas immédiat...
  
  Pour finir je me permets de te signaler que "aberration" ne prends pas de H, en revanche c'est le cas de "abhorrer".
• borde

  February 2006

  Pour ma part, je ne vois rien à redire (à part que tu as tapé "franction" au lieu de "fraction" en milieu de paragraphe en page $2$). Mais on peut éviter le recours à "$f$ développable en série entière" dans le théorème de Liouville. En effet, celui-ci peut s'énoncer sous la forme : si $f$ est {\it entière} et bornée, alors $f$ est constante.
  
  Par hypothèse, ta fonction $Q$ est entière (évident) et bornée, donc constante.
  
  Une généralisation de Liouville est : si $f$ est entière telle que $|f(s)| = O ( |s|^k)$ lorsque $|s| \rightarrow \infty$, alors $f$ est un polynôme de degré $\leqslant k$.
  
  Borde.
• TheVelho

  February 2006

  Merci à vous deux pour votre lecture attentive.
  
  Pour ``aberation'', il était vers 2h du matin donc ça compte pas... (En plus j'ai réfléchi avant de l'écrire...)
  
  Sinon pour la fonction $Q$, je voulais garder le PDF à un niveau ``DEUG-Prépa'', c'est pour ça que je voulais éviter de parler de fonction entière, mais je vois que ça perd un peu en clarté du coup... Je vais essayer de tourner ça plus joliment.
  
  En tout cas merci encore (et merci d'avance aux futurs critiques).
  
  (Pour le remplissage de site, ça va venir petit à petit.)
• Le Furet

  February 2006

  Tu as quand même des démonstrations de ce théorème niveau DEUG ne faisant pas "trop" intervenir les fonctions complexes (je pense à celle de Gauss - une parmi plein - où il regarde le min de |P| dans C, il suppose qu'il n'est pas 0, et il "tourne autour" pour montrer que c'est absurde. C'est pas la plus courte, mais je trouve que c'est la plus "intuitive". Je veux dire par là qu'en Spé, en réfléchissant pas mal un jour où j'étais en forme, j'aurais peut-être pu la trouver).
  
  Je sais, c'est hors-sujet...
• TheVelho

  February 2006

  Oui, j'ai déjà vu cette preuve et c'est vrai qu'elle est plus naturelle en un sens.
  Je trouve celle qui utilise le théorème de Liouville très élégante et directe.
• Th0t

  February 2006

  Très joli!
  Avez vous une definition simple d'une" fonction entiere" ?
• borde

  February 2006

  fonction entière : fonction holomorphe dans $\C$ tout entier.
  
  Voir \lien {http://mathworld.wolfram.com/EntireFunction.html}
  
  Borde.
• Bruno

  February 2006

  Bonjour.
  
  Chasse aux coquilles, dans la troisième ligné du tableau exprimant l'intégrale de Cauchy, tu as écrit : $2\pi a_nr_n$ au lieu de $2\pi a_n r^n$ (si je ne m'abuse comme disait le docteur). Par contre je n'ai pas vu "abération".
  
  Bruno
• TheVelho

  February 2006

  Le aberration est dans mon premier message.
  Merci pour les coquillettes, elles vont vite être corrigées.
• galdou

  February 2006

  Tiens pour la démo de Liouville on peut faire sans Cauchy
  
  Soit f holomorphe de C -> C bornée, alors f induit une application sur P(C)(=C U{oo}) vers C qui est holomorphe (car en l'infini le point est une fausse singularité car f est bornée) si f n'est pas constante elle est ouverte (théorème de l'application ouverte), d'où F(P(C)) est ouvert et aussi fermée car P(C) est compact, d'où f est surjective et donc C est compact, c'est impossible ! ! ! D'où le théorème ... Mais bon c'est plus du niveau deug, mais je trouve ça beaucoup plus joli que l'utilisation des formule de Cauchy.
  Enfin de compte je ne sais pas si c'est vraiment sans Cauchy car j'utilise le théorème de l'application ouverte qui utilise dérivable => analytique et ça ça utilise Cauchy. Mais bon ...