Probabilités

Bonjour,

Tout d'abord, je tiens à vous remercier pour votre travail ainsi que
le s\'erieux de vos r\'eponses.

Je viens quelquefois chercher des informations pour mon travail. Cette
fois je me permets de vous soumettre un point sur lequel je coince.\\
Je cherche à montrer à partir de Z=X/Y que \

(1)$\{E(Z)=\frac{E(X)}{E(Y)}(1+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)})}$;\\


(2)$\{Var(Z)=\left[\frac{E(X)}{E(Y)}\right]^{2}\left[\frac{Var(X)}{E^{2}(X)}+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)}\right]}$.\\
Voici mon travail pour le point 1.\\


- $\{E(\frac{X}{Y})=E(X).E(\frac{1}{Y})}$\\
- $\{E(\frac{1}{Y})=E(\frac{1}{E(Y)+(y-E(X))})=E(\frac{1}{E(Y)}.\frac{1}{1+\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}})}$\\


Je pose $\varepsilon=\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}$et j'\'ecris $\frac{1}{1+\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}}=\frac{1}{1+\varepsilon}$
\'a l'ordre 2 , $\frac{1}{1+\varepsilon}=1-\varepsilon+\varepsilon^{2}+\varepsilon^{2}o(1)$.\\


Cela donne $E(\frac{1}{Y})=E(\frac{1}{E(Y)}.[1-\frac{Y-E(Y)}{E(Y)}+(\frac{Y-E(Y)}{E(Y)})^{2}])=\frac{1}{E(Y)}.(1-0+E((\frac{Y-E(Y)}{E(Y)})^{2})$,\\


avec $E((\frac{Y-E(Y)}{E(Y)})^{2})=\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)}$. \\


Donc $E(\frac{1}{Y})=\frac{1}{E(Y)}(1+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)})$,
et $E(\frac{X}{Y})=\frac{E(X)}{E(Y)}(1+\frac{Var(Y)}{E^{2}(Y)})$.
Voil\'a pour le point 1.\\

Pour le point 2 je reste coinc\'e.

Pouvez-vous m'aiguiller pour le point 2 ? En vous remerciant.