dérivabilité des intégrales à paramètres

Bonjour,

Dans mon bouquin de maths (Jean Marie Monier),
est énoncé le théorème de dérivation sous le signe de l'intégrale pour les intégrales à paramètres avec les hypothèses suivantes :
(pour l'intégrale de g(x,t) définie sur IxD )
t->g(x,t) appartient à L1
t->dg/dx(x,t) continue par morceaux
x->dg/dx(x,t) continue
hypothèse de domination de dg/dx sur IxD

OK jusque là pas de problème, le pb, c'est qu'ensuite il dit : "par récurrence" et il énonce le théorème pour dériver n fois avec les hypothèses suivantes :

t->g(x,t) appartient à L1
pour tout k inférieur ou égal à n,
t->d(k)g/dx(k)(x,t) continue par morceaux
x->d(k)g/dx(k)(x,t) continue
hypothèse de domination de d(n)g/dx(n) sur IxD

Alors, l'intégrale à paramètre est Cn, pour tout k inférieur ou égal à n d(k)g/dx(k) appartient à L1 et on peut dériver k fois sous l'intégrale.

Mon problème est que l'hypothèse de domination n'est que sur la dernière dérivée, et je ne vois pas du tout comment il la récupère pour les dérivées précédentes, (je rappelle qu'on est ici sur des intervalles)