Un calcul d'espérance...

Franckkk
Franckkk
Modifié (June 2023) dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir
L'entreprise Jane Street a distribué des T-shirts pas banals (aux ?), dont celui-ci, qui contient une question qui ne me semble pas tout à fait triviale... C'est peut-être un classique, j'ai cherché mais rien trouvé...
La question consiste à la calculer la limite quand $n\to \infty$ de l'espérance du nombre de facteurs non carrés parfaits de pgcd($X_n$,$Y_n$) où $X_n$ et $Y_n$ sont indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$. Je ne vois pas bien par où prendre le sujet. Dans ce cas, je regarde numériquement ce que ça donne (c'est d'ailleurs ce qui est représenté au verso du T-shirt). Je vous joins les graphiques jusqu'à n=200 (les couleurs sont automatiques, et le choix pas très heureux, j'en conviens).
La suite semble converger vers qq chose comme 0.53.
Qqn aurait des idées géniales sur la méthode pour résoudre la question ?

Réponses

  • Franckkk
    Franckkk
    Modifié (June 2023)
    Argh, il y avait une erreur dans mon code... désolé
    Pour i=j=120, le pgcd de i et j est évidemment 120, qui a 14 diviseurs non carrés : 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 et 120.
    Voici les graphiques corrigés !


  • lourrran
    lourrran
    Tu parles du nombre de facteurs non carrés d'un certain nombre G.

    Si $G=27$ par exemple, on peut écrire $G=3^2.3$, et donc il y a un facteur non carré ? ou aucun ?
    Et il y a peut-être d'autres cas limites qu'il faudrait expliquer ?  
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • LOU16
    LOU16
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    La question formulée dans ton lien est:
    $\boxed{\text{ What is }\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\mathbb E\left(\# \text{ of square-free divisors of gcd}(X_n,Y_n)\right) \text{ for } X_n,Y_n\text{ drawn from }\{1,\dots n\}\text{uniformly and independantly ?}}$
    "Square-free" ne signifie pas "non-carré", mais " non divisible par le carré d'un nombre premier". Ainsi, la recherche de l'espérance $\mathbb E_N$ conduit au calcul suivant:
    $\mu$ désigne la fonction de Mobius et $\mathbb P$ l'ensemble des nombres premiers. $\:\forall n \in \N^*, \:\:\mu^2(n) = \begin{cases} 1\text{ si } n\text { est square-free.}\\0 \text { sinon.}\end{cases}$
    $N^2\mathbb E_N=\displaystyle \sum_{(m,n) \in [\![1;N]\!]^2}\text{Card}\Big\{d\in \N^*\:/\:\mu^2(d)=1, \:d\mid m\wedge n\Big\}=\sum_{d=1}^N \mu^2(d)\text{Card}\Big\{(m,n) \in [\![1;N]\!]^2 \:/\: d\mid m, d\mid n\Big\}$
    $N^2\mathbb E_N =\displaystyle \sum_{d=1}^N\mu^2(d) \left \lfloor \dfrac{N}{d}\right \rfloor ^2.\quad \lim_{N\to +\infty}\mathbb E _N =\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac {\mu^2(n)}{n^2}=\prod_{p\in \mathbb P}\left(1+\dfrac 1{p^2}\right)=...\:$(dixit Mathworld) $ \:\dfrac{15}{\pi^2}.$
    Edit1 Je viens d'apercevoir le pourquoi du $\dfrac{15}{\pi^2}:\quad$ Sachant que $\quad\zeta(2)=\dfrac {\pi^2}6,\quad\zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90},\:\:$ il vient:
    $\displaystyle \prod_{p\in\mathbb P}\left(1-\dfrac1{p^2}\right) =\dfrac1{\zeta(2)}, \quad \prod_{p\in\mathbb P}\left(1-\dfrac1{p^4}\right) =\dfrac1{\zeta(4)}.\qquad\displaystyle \prod_{p\in\mathbb P}\left(1+\dfrac 1{p^2}\right)= \dfrac{\zeta(2)}{\zeta(4)} =\dfrac {15}{\pi^2}.\qquad \boxed{\lim_{N\to +\infty}\mathbb E_N =\dfrac{15}{\pi^2}.}$
    Edit2 L'interprétation "non carré" à la place de "square-free" donnerait le résultat suivant: $\displaystyle \lim_{N\to +\infty}\mathbb E_N =\zeta(2) -\zeta(4) =\dfrac {\pi^2(15-\pi^2)}{90}.$

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6

AmadouGGL2M +3 Invités