Un cercle non connu passant par un point de Miquel

Jean-Louis Ayme · June 2023

Bonjour
Je vous présente un résultat personnel.
Suite aux fils

* Même point de Miquel, noté M
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334440/meme-point-de-miquel/p1?new=1

* La A-droite de van Lamoen, notée La
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334553/la-a-droite-de-van-lamoen/p1?new=1

considérons les B et C-droites de van Lamoen, notées Lb, Lc.
La, Lb, Lc déterminent un triangle, noté abc.

Question : le cercle circonscrit à abc passe par M.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Bouzar · June 2023

Bonjour Jean Louis,

Soient $P$ et $U$ deux points non situés sur les côtés du triangle $ABC.$

On a : $A,B,C\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) .$

On note : $P\simeq\left(\begin{array}{c} p\\ q\\ r \end{array}\right)\quad U\simeq\left(\begin{array}{c} u\\ v\\ w \end{array}\right).$

Définissons $L$ et $M$ comme les tripolaires des points $P, U$ respectivement. On a :

$L\simeq\left[\dfrac{1}{p},\dfrac{1}{q},\dfrac{1}{r}\right]\quad M\simeq\left[\dfrac{1}{u},\dfrac{1}{v},\dfrac{1}{w}\right].$

Les points $A', B',C', A'', B'',C''$ sont les points cocéviens des points $P, U.$ On a :

$A', B',C'\simeq \left(\begin{array}{c} 0\\ q\\ -r \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -p\\ 0\\ r \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} p\\ -q\\ 0 \end{array}\right)\quad A'', B'',C'' \simeq \left(\begin{array}{c} 0\\ v\\ -w \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -u\\ 0\\ w \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} u\\ -v\\ 0 \end{array}\right).$

$I_a, J_a, K_a$ sont les milieux de $[BC], [B'C'], [B"C"].$

$I_a = mil[BC] = 1.\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + 1.\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)$

$J _a=mil[B'C'] = (p-q).\left(\begin{array}{c} -p\\ 0\\ r \end{array}\right) +(r-p).\left(\begin{array}{c} p\\ -q\\ 0 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} -p(p-q)+(r-p)p\\ -q(r-p)\\ r(p-q) \end{array}\right)$
$K_a = mil[B''C''] = (u-v).\left(\begin{array}{c} -u\\ 0\\ w \end{array}\right) +(w-u).\left(\begin{array}{c} u\\ -v\\ 0 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} -u(u-v)+u(w-u)\\ -v(w-u)\\ w(u-v) \end{array}\right)$

Les points $I_a, J_a$ et $K_a$ sont alignés sur la A-droite de van Lamoen, notée $L_a.$

On a: $L_a\simeq\left[−⁢q⁢+⁢r⁢ ,-2p+q+r ,2p-q-r \right].$

$I_b, J_b, K_b$ sont les milieux de $[AC], [A'C'], [A"C"].$

$I_b = mil[AC] = 1.\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + 1.\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$

$J _b=mil[A'C'] = (p-q).\left(\begin{array}{c} 0\\ q\\ -r \end{array}\right) +(q-r).\left(\begin{array}{c} p\\ -q\\ 0 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} p(q-r)\\ q(p-q)-q(q-r)\\ -r(p-q) \end{array}\right)$
$K_b = mil[A''C''] = (u-v).\left(\begin{array}{c} 0\\ v\\ -w \end{array}\right) +(v-w).\left(\begin{array}{c} u\\ -v\\ 0 \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} u(v-w)\\ v(u-v)-v(v-w)\\ -w(u-v) \end{array}\right)$

Les points $I_b, J_b$ et $K_b$ sont alignés sur la B-droite de van Lamoen, notée $L_b.$

On a: $L_b\simeq\left[2⁢q-p⁢-⁢r⁢ ,p-r ,-2q+p+r \right].$

$I_c, J_c, K_c$ sont les milieux de $[AB], [A'B'], [A''B"].$

$I_c = mil[AB] = 1.\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + 1.\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$

$J _c=mil[A'B'] = (r-p).\left(\begin{array}{c} 0\\ q\\ -r \end{array}\right) +(q-r).\left(\begin{array}{c} -p\\ 0\\ r \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} -p(q-r)\\ q(r-p)\\ -r(r-p)+r(q-r) \end{array}\right)$
$K_c = mil[A''B''] = (w-u).\left(\begin{array}{c} 0\\ v\\ -w \end{array}\right) +(v-w).\left(\begin{array}{c} -u\\ 0\\ w \end{array}\right) \simeq \left(\begin{array}{c} -u(v-w)\\ v(w-u)\\ -w(w-u) +w(v-w) \end{array}\right)$

Les points $I_c, J_c$ et $K_c$ sont alignés sur la C-droite de van Lamoen, notée $L_c.$

On a: $L_c\simeq\left[−2r+p+⁢q⁢ ,2r-p-q ,q-p \right].$

On a : $a, b, c\simeq\left(\begin{array}{c} r-q\\ p-2q+r\\ 2r-p-q \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2p-q-r\\ p-r\\ p+q-2r \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2p+q+r\\ 2q-p-r\\ q-p \end{array}\right) .$

Le calcul d'un déterminant d'ordre 4 montre que le point de Miquel $M$ appartient au cercle circonscrit au triangle $abc.$

Amicalement.

jelobreuil · June 2023

Bonjour Jean-Louis,

Je note que sur la figure présentée, les indications "M" et "Lc" sont interverties ... Cela va sans dire, mais ...

Grossières erreurs d'interprétations de ma part !!! Comme quoi, il faut toujours regarder 7 fois une figure et en lire 7 fois la description avant d'écrire qu'on y détecte une incohérence ...

Bien cordialement, JLB

Jean-Louis Ayme · June 2023

Bonsoir Jean-Louis,
je ne comprends pas...

Sincèrement
Jean-Louis

jelobreuil · June 2023

@Jean-Louis Ayme

Jean-Louis, je te prie de m'excuser, j'ai cru, à première vue, que la droite Lc était celle passant par A'', B'' et C'' , et que le "M" indiquait le cercle passant par le point M ! Au temps pour moi !

Bien sincèrement, Jean-Louis B.