connexe, connexe par arcs

bonjour

connexe et LOCALEMENT connexe par arcs implique connexe par arcs. Localement connexe par arcs signifie qu'il existe une base de voisinages connexes par arcs (i.e tout voisinage contient un voisinage connexe par arc).

Bon sans te faire la demo (c'est un poil technique mais pas très compliqué) l'idée générale est : qd tu prend un point x dans E, tu regarde l'ensemble $M_x$ des points de E reliable à x par un chemin. C'est clairement un ouvert puisque tout point y dans $M_x$ est dans un voisinage (ouvert) connexe par arc et donc tout point z de ce voisinage ouvert est dans $M_x$ puisqu'il existe un chemin joignant x à y et un joignant y à z. Il reste plus qu'à montrer que $M_x$ est aussi fermé et comme il est non vide c'est E tout entier (par connexité).

UN exemple de connexe non connexe par arcs : le graphe de sin(1/x) sur ]0,1] auquel on rajoute le segment vertical [0,1]. Il est connexe mais pas connexe par arcs puisqu'un point du segment vertical n'est pas joignable à un point du graphe d'abscisse >0.

Enfin une façon simple de remarquer que connexe par arcs implique connexe : si E n'est pas connexe alors on peut le voir comme union de 2 ouverts non triviaux disjoints. On prend alors un point dans chaque ouvert disons x et y. POur chaque chemin reliant x à y on va alors trouver un point limite qui ne sera pas dans E (faire limite inf et sup lors du passage d'un ouvert à l'autre).

Bon j'ai fait ca rapidement de mémoire donc ce n'est pas exempt d'erreurs.

t-mouss

De manière plus générale, un ouvert connexe d’un espace vectoriel normé est connexe par arcs.

La démo, Corentin, n'est pour moi pas "très facile" !
Mais c'est une notion relative ;-)

corentin a dit :

Une petite propriété plaisante: dans $\R^n$, ouvert connexe implique connexe par arc, c'est très facile à montrer en se fixant un point $x_0$ et en considérant l'ensemble des points que l'on peut relier à $x_0$ par un chemin continu (cet ensemble est ouvert et fermé).

Bonjour, le fil est complétement daté certes mais je me demande comment on montre que l'ensemble des points que l'on peut relier à $x_0$ par un chemin continu que l'on note $ U_{x_{0}}$ est à la fois ouvert et fermé? Je note $O$ la partie ouverte et connexe de $\R^n$.
Pour montrer qu'il est ouvert je crois avoir une piste : Sachant qu'on est placé dans un ouvert, soit $y$ un point que l'on peut relier à $x_0$ par un chemin continu, alors il existe une boule ouverte centrée en $y$ toujours contenue dans l'ensemble de départ et on pourra toujours trouver un chemin entre $x_0$ et les éléments de cette boule ; donc c'est un ouvert. Pour montrer ensuite que $U_{x_{0}}$ est fermé je ne vois pas trop comment faire. En revanche, on peut montrer que la relation binaire "il existe un chemin de $x$ à $y$ (contenu dans U)" est une relation d'équivalence. Et la classe d'équivalence de $x_0$ est $ U_{x_{0}}$, on montre alors que pour tout $x \in O$, la classe de $x$ est ouverte (raisonnement déjà effectué plus haut), or les classes d'équivalence forment une partition de $O$, on a alors une partition d'un ensemble connexe formée d'ouverts :  c'est absurde. il y a donc une seule classe d'équivalence, c'est-à-dire que tout couple de point est reliable par un chemin dans $O$, donc il est connexe par arcs.

Est-ce que j'ai écrit une ineptie?