Groupe fini et formule de cardinaux

mike2 · June 2023

Bonsoir à tous,
je sollicite votre aide pour un petit exercice sur les groupes (voir piece jointe). Seule la question 3 (égalité de cardinaux) me pose problème. Avez-vous une idée ? J'ai pensé à me ramener à une application bijective mais sans succès.
Merci d'avance

Mickael.

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llorteLEG · June 2023

Hello, tu as montré que $\phi$ est surjective dans la question précédente.
Un élément de $HK$ est atteint combien de fois?

NicoLeProf · June 2023

Bonsoir à toi,

je crois (mais je ne suis pas sûr) que les questions $2$ et $3$ t'incitent fortement à considérer l'application : $f : HK \times H \cap K \rightarrow H \times K$ qui à $(hk,t)$ associe $(ht,t^{-1} k)$ et à vérifier qu'elle est bien définie et bijective.

Math Coss · June 2023

J'appliquerais plutôt le lemme des bergers : par définition du produit $HK$, l'application $\phi$ induit une surjection de $H\times K$ sur $HK$ et on vient de montrer (ce qu'il faut pour en déduire) que toutes les fibres (images réciproques des singletons) ont le même cardinal.

mike2 · June 2023

Bonjour à tous (désolé du retard) merci pour l'histoire des bergers ça marche bien.
Bonne journée.

Groupe fini et formule de cardinaux

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