Limite de suite et formule de Taylor

Je ne mettrais pas ma main à couper mais pas loin.

On n'applique pas un développement limité en $h=1$ alors que $h$ représente une quantité qui tend vers zéro ! D'où provient ce « corrigé » ?

Aie,  Pour sauver  sa preuve je me suicide : Si on justifie que la formule de T-Y est valable pour tout $h\in [0,1 [$, on passe d'abord  à  la limite quand  $n\to \infty $ qui donne $o (h^ n )=h^ n \epsilon (h)\to 0$.  Puis justifier le pasage à  la limite $h\to 1$

gebrane a dit :

Mais Bibix, tu n'expliques pas le suicide  dans mon  raisonnement.

Si on écrit les choses correctement, en fixant $a=0$, on devrait écrire :  la fonction est $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ admet un développement limité en $a=0$, à tout ordre n (c 'est la formule de T.Y) , c'est-à-dire  pour tout $n$, il existe une fonction $\epsilon_n$ dépendant de $n$ telle que... Ainsi, on ne peut pas conclure que $h^n\epsilon_n(h)\to 0$ quand $n\to +\infty$.

L'exemple de @Bibix montre que la double limite que tu veux faire n'est pas possible en général. 

La formule de Taylor-Young donne seulement une information locale, pour aller au delà de $a$ il faut un contrôle explicite de l'erreur en utilisant par exemple Taylor-Lagrange ou Taylor-Laplace. On ne peut pas prendre $h$ comme ça nous arrange et remplacer un « $o$ quand $h\to 0$ » en « $o$ quand $n\to\infty$ » en mode ni vu ni connu je t'embrouille comme le fait le type de la vidéo.