Démonstration de la conjecture de Legendre

Substitoad · June 2023

Bonjour
Je pense avoir démontré la conjecture de Legendre.
Voici un pdf avec la démo, pouvez-vous m'en donner des retours ?
Je me ferai un plaisir de répondre aux éventuelles questions.
Bien à vous,
Nathan Gilkinet

Substitoad · June 2023

Up

Bibix · June 2023

Le premier lemme est mal formulé, on sait seulement que $n$ est premier ssi il n'est multiple strict d'aucun nombre premier < $P(a+1)$. En effet,$7^2 < 50=2 \times 5^2 < 11^2$. À moins que $50$ soit un nombre premier pour toi ? Et tu n'utilises pas assez les propriétés des nombres premiers pour que cette démonstration soit crédible, ça se voit à des kilomètres que c'est une arnaque

.

Substitoad · June 2023

Je ne comprends pas le sens de votre remarque xD
A quel moment écris-je que 50 est un nombre premier?
$2 = P(1) < P(a+1)$ $\forall{a>0}$ donc 50 n'est pas premier, je ne vois pas où est l'erreur que vous pointez!

Le premier lemme est forcément vrai puisqu'il s'agit de la réécriture du critère d'arrêt : $n$ est premier s'il n'est pas un multiple de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$.

Et j'utilise les propriétés des nombres premier mais sous forme de matrices booléennes!

Bibix · June 2023

Substitoad a dit :

Le premier lemme est forcément vrai puisqu'il s'agit de la réécriture du critère d'arrêt : $n$ est premier s'il n'est pas multiple de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$.

C'est faux. J'avais bien compris que tu essayais maladroitement de démontrer ce critère avec le principe de Bertrand (ou Tchebychev) (ce qui est inutile xD) mais tu le formules mal. Tel quel, $50$ n'est pas multiple de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{50}$ car ce n'est pas un multiple de $3$ donc c'est un nombre premier selon ton lemme.
Et j'ai dit "pas assez". Quel est le résultat le plus récent sur les nombres premiers que tu utilises ?

[Utilisateur supprimé] · June 2023

Ha bon, 50 n'est pas divisible par 5 ou 2 ($\sqrt{50}≈7{,}07$) ?

Substitoad · June 2023

Hum, j'ai peut-être mal écris mais ce que je voulais dire :

Cas a = 4 :
Si $50$ n'est pas un multiple de $P(1) = 2 < \sqrt{121}$, ce qui est faux donc $50$ n'est pas premier.
Et si $50$ n'est pas un multiple de $P(2) = 3 < \sqrt{121}$
Et si $50$ n'est pas un multiple de $P(3) = 5 < \sqrt{121}$, ce qui est faux donc $50$ n'est pas premier.
Et si $50$ n'est pas un multiple de $P(4) = 7 < \sqrt{121}$
Alors $50$ serait premier!

Ici $50$ est un multiple de $2$ et $5$, qui sont bien inférieurs à $P(a+1)$ soit $P(5) = 11$, donc $50$ n'est pas premier!

Bibix · June 2023

D'accord donc tu peux remplacer ta grosse démonstration en première page par :
_ Si $n$ est multiple strict d'un nombre premier $P(k) < P(a+1)$, alors $n$ n'est pas premier
_ Si $n$ n'est multiple d'aucun nombre premier $P(k) < P(a+1)$ : on suppose par l'absurde que $n$ n'est pas premier. On obtient $n = m p$ avec $p,m > 1$ des entiers naturels. Par le théorème fondamental de l'arithmétique, il existe $P(k) \geqslant P(a+1)$ qui divise $\min(p,m)$. On a donc $n = m p \geq \min(p,m)^2 \geqslant P(a+1)^2$ : contradiction.
On en déduit que $n \in [P(a)^2,P(a+1)^2[$ est premier ssi $n$ n'est multiple d'aucun nombre premier inférieur à $P(a+1)$.

Quelles autres propriétés des nombres premiers utilises-tu ?

gerard0 · June 2023

Bonjour Substitoad.
Bibix te parlait de "mal rédigé". C'est que "n’est pas un multiple de tous les nombres premiers" veut dire qu'il est faux qu'il un multiple de tous les nombres premiers, alors que, j'imagine, tu voulais dire "n’est un multiple d'aucun des nombres premiers" comme il te le disait.

C'est d'ailleurs très maladroit de redémontrer cette propriété connue depuis 22 siècles. Et que j'ai apprise, sans qu'on lui donne un nom, à 13 ans, comme tous mes condisciples de l'époque.

C'est encore plus prétentieux de donner ton propre nom à une propriété qui n'est pas nouvelle. Et qu'on trouve partout dans les manuels d'arithmétique.

Tout ça déconsidère ton travail. Et montre une certaine faiblesse intellectuelle, qui associée à une "démonstration" verbeuse et compliquée, ne donne pas envie de lire la suite.

Le mieux serait que tu élimines ça de ton texte, et par la même occasion, tu étudies un peu les propriétés élémentaires des nombres premiers (ou pas), celles qui sont très connue de tout professionnel des maths. Puis tu pourras reprendre ta preuve en la vérifiant (elle doit être claire et précise, n'être qu'une suite d'applications de propriétés connues ou que tu démontres). La formulation des phrases doit aussi être parfaite.
Cordialement.

Substitoad · June 2023

Bonjour gerard0,
Merci pour votre retour!

Je tiens à préciser que je ne suis pas un professionnel, je n'ai jamais publié d'articles scientifiques...
La réécriture de ce critère me semblait importante car, par la suite, j'utilise exactement les même hypothèses pour un soucis de lisibilité et de simplification.

J'avoue que c'est prétentieux de donner son nom à ses écris mais je protège mon travail! (travail de plus de 13 ans).

La démonstration est verbeuse mais ne nécessite pas tant de maths que cela, et de toute façon une démonstration trop axée sur le calcul devient vite incompréhensible pour un non-initié comme moi.

Je vais reformuler ma phrase car elle pose problème

Cordialement,
Nathan Gilkinet

bd2017 · June 2023

Bonjour

J'ai lu l'énoncé du lemme de Gilkinet. C'est louche l'énoncé: surtout l'équivalence. Dans un sens, on suppose que $n$ est premier et on veut démontrer qu'il n'est pas multiple des nombres premiers inférieurs à $P(a+1).$ La bonne blague!!

Comme dit précédemment, cela ne donne pas envie de lire la suite. Alors j'essaie de comprendre la démonstration du théorème de Gilkinet. Comme je ne comprends même pas l'énoncé je me dis que ce n'est pas la peine de donner un nom au théorème, il n'y a personne qui va voler le résultat.

Substitoad · June 2023

J'ai du mal avec le langage LaTeX pour l'utilisation de matrices de taille $(m)x(n)$ ainsi que l'imbrication de matrices entre-elles.
Le plus simple est de prendre une feuille et un crayon, et de dessiner les matrices d'abord pour des petites valeurs de $n$ puis de vérifier avec des valeurs plus importantes.

N'hésitez pas à revenir vers moi si vous voulez que je précise un point en particulier

bd2017 · June 2023

Non. Laisse tomber! Quand on travaille 13 ans sur un sujet, on se force à l'énoncer de façon intelligible.
Seul l'énoncé de la conjecture de Legendre est correct.

Pour info, dans un autre style, il y a ce post: https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2346015

lourrran · June 2023

Tu dis : "Je tiens à préciser que je ne suis pas un professionnel, je n'ai jamais publié d'articles scientifiques"
C'était inutile de le préciser, ça saute aux yeux.

Pour ma part, je n'aime pas du tout les phrase du type Construisons A' une patrice de taille .... avec b un naturel strictement supérieur à 1.

Par principe, je présente les éléments avant de les utiliser.
Ici, ça donnerait :

Soit $b$ un entier naturel strictement supérieur à 1.
Construisons $A'$ ( j'aurais écrit $A'(b)$ ou $A'_b$ pour bien préciser que cette matrice dépend de $b$, mais ok, allégeons les écritures) de la façon suivante. etc

Cette matrice A' semble importante dans la suite de l'histoire. Ça vaut le coup de bien la décrire. Est-ce qu'il y avait obligation de tout dire en une seule phrase ??? Alors que sur la page précédente, pour rappeler un résultat connu de tout le monde, tu as choisi de délayer en 30 lignes !
J'aurais préféré 30 lignes pour décrire cette matrice A', et rien du tout pour démontrer le résultat de la page 1, qui est un résultat connu.
Toujours sur cette petite phrase. Tu dis que A' est une matrice avec telles et telles propriétés. Non. C'est la matrice avec ces propriétés.
J'abandonne.

Substitoad · June 2023

C'est dommage de s'arrêter à cause d'un choix de syntaxe... (mais je respecte votre choix de ne pas poursuivre la lecture)
Considérez-vous toutes les démonstrations dont l'écriture ne vous convenant pas comme fausses?
De plus, vous ne soulignez aucune erreur de raisonnement.

Pour info, pour $b=3$, on a $A'_{b} = A'_{3} =$

$\begin{pmatrix}
0&0&0 \\
1&0&0 \\
0&1&0 \\
1&0&0 \\
0&0&1 \\
1&1&0 \\
0&0&0 \\
1&0&0 \\
0&1&0 \\
1&0&1 \\
0&0&0 \\
1&1&0 \\
0&0&0 \\
1&0&0 \\
0&1&1 \\
1&0&0 \\
0&0&0 \\
1&1&0 \\
0&0&0 \\
1&0&1 \\
0&1&0 \\
1&0&0 \\
0&0&0 \\
1&1&0 \\
0&0&1 \\
1&0&0 \\
0&1&0 \\
1&0&0 \\
0&0&0 \\
1&1&1
\end{pmatrix}$

raoul.S · June 2023

Substitoad a dit :
Considérez-vous toutes les démonstrations dont l'écriture ne vous convenant pas comme fausses?

Le problème est qu'un texte mathématique bien écrit demande déjà, de par sa nature, un effort de compréhension pour celui qui veut le lire. Alors lorsque le texte n'est pas bien écrit ça ajoute de la difficulté au potentiel lecteur qui n'a pas forcément envie de poursuivre. Tu es dans ce cas. Sûrement plusieurs intervenants, dont moi, ont commencé à lire ton texte et ont laissé tomber au bout de quelques lignes. Pas assez clair.

Moi je me suis arrêté à la définition de la matrice $A$. Tu dis $A=\begin{pmatrix} A' \\ \vdots\\ A' \end{pmatrix}$. Ceci veut dire que $A$ est la matrice obtenue en empilant la matrice $A'$ un certain nombre de fois. Mais combien de fois on l'empile ? Aucune idée.

Remarque que $A'$ dépend de $b$, et devrait plutôt être notée $A'(b)$ comme suggéré par lourrran, pour faciliter la lecture... mais bon.

Ensuite tu dis que $A$ correspond à la liste de l’exactitude de si $i$ est un multiple de $P(j)$ pour tout $i\in \N_0$ . J'en déduis que $A$ a une infinité de lignes car $i$ c'est bien l'indice des lignes et tu ne majores pas $i$. Donc je me dis que ma compréhension de la matrice $A$ est mauvaise car dans un premier temps $A$ avait un nombre fini de lignes. Donc j'arrête de lire.

PS : remarque également, que j'ai continué à lire en diagonale, et je suis tombé sur un indice $\lambda$ dont je n'ai pas trouvé la définition, donc je me suis dit que ça ne valait pas la peine de continuer à faire des efforts. Essaie de tout réécrire en introduisant comme il faut chaque objet mathématique, il ne faut pas que le lecteur se pose des questions lorsqu'il lit ton texte. Un lecteur c'est comme un compilateur, il doit pouvoir "compiler" sans se poser de questions...

Substitoad · June 2023

Merci pour votre retour!
Malheureusement, je ne maîtrise pas le langage mathématique comme un professionnel écrivant souvent ou vulgarisant des démos.
Mais je suis prêts à répondre à toutes questions pour l'éventuel lecteur intéressé.

Effectivement, la matrice $A_b$ est un empilement infini de matrice $A'_b$ donc $i$ n'est pas majoré.
Je majore $i$ par la suite, en extrayant la matrice $A''_b$ de $A_b$.

$\lambda$ est simplement un naturel $\in{[0,P(b+1)-P(b)-1]}$

Kraw · June 2023

@Substitoad
La récurrence de ce genre de post devient lassante. Mais essayons d'être pédagogue. Sans critiquer le niveau, c'est plutôt l'intention et le procédé qui m'interpelle.

Substitoad a dit :
Je tiens à préciser que je ne suis pas un professionnel, je n'ai jamais publié d'articles scientifiques...
La réécriture de ce critère me semblait importante car, par la suite, j'utilise exactement les même hypothèses pour un soucis de lisibilité et de simplification.
J'avoue que c'est prétentieux de donner son nom à ses écris mais je protège mon travail! (travail de plus de 13 ans).

Donc tu n'es pas mathématicien, ce qui n'est aucunement une injure, les enseignants-chercheurs sont une fraction infime des personnes utilisant (ou pratiquant) des mathématiques au quotidien mais tu choisis de t'attaquer à une conjecture vieille de presque 200 ans et faisant partie des problèmes de Landau. Problème célèbres, élégant pour beaucoup mais tous non résolu 116 ans après leur présentation par Landau. Bon, tu me fais penser à un type qui jouerait à peine au niveau départemental ou régional dans un sport collectif mais qui te parlerais de jouer la ligue des champions directement.
Ensuite, réinventer la roue et la rendre potentiellement carré c'est de la bêtise plutôt que de la prétention.

La démonstration est verbeuse mais ne nécessite pas tant de maths que cela, et de toute façon une démonstration trop axée sur le calcul devient vite incompréhensible pour un non-initié comme moi.

Ne vois tu pas le problème de ton procédé ? Je ne connais pas de mathématicien qui aime particulièrement calculer mais c'est un pré-requis indispensable si on veut réussir n'importe quel épreuve mathématiques. A minima, si le calcul est long tu dois nous fournir un algorithme de calcul, des vérifications informatiques de ton intuition (et souvent ça ne suffit pas à établir un résultat juste à affiner ses intuitions ou sa représentation du problème). Comment peux-tu vouloir résoudre des problèmes d'un tel niveau et en même temps ne pas d'abord travailler tes lacunes.

De plus, vous ne soulignez aucune erreur de raisonnement.

Si on ne comprends pas la syntaxe, il n'est aucunement lieu de parler de raisonnement. Un raisonnement c'est une suite de définition et propositions/propriétés/théorèmes le tout articulé par des connecteurs logiques. Ce n'est pas au lecteur de comprendre ou de définir les objets que tu manipules, c'est à toi de rendre tout cela limpide et compréhensible pour nous. Et note bien que je n'ai pas dit accessible ! La majorité des articles mathématiques ne sont pas accessible si tu n'es pas spécialiste du domaine (ou au moins très bien informé) ce qui implique (comme toujours et c'est chiant) beaucoup de travail avant d'arriver au niveau de lire ces articles. Personnellement je patauge dans 99% (je m'accorde 1% d'espoir si l'article est sur mon sujet de mémoire) des articles que je dois lire, je n'y comprends pas grand chose, il n'y a aucune honte, il faut du temps et du travail.

Enfin, une simple visite sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Legendre#Résultats_partiels permet de se dire qu'une démonstration qui n'évoque aucunement les précédents résultats est à minima surprenant, si après on ajoute que l'auteur avoue ne pas savoir calculer et qu'il n'est pas mathématicien, on commence réellement à douter de la pertinence du procédé.

Donc, de grâce, de l'eau fraiche, de l'humilité et du travail ! Avant de vouloir construire les Tuileries, il vaut mieux commencer par construire une petite cabane au fond de son jardin.
EDIT:

Malheureusement, je ne maîtrise pas le langage mathématique comme un professionnel écrivant souvent ou vulgarisant des démos.
Mais je suis prêts à répondre à toutes questions pour l'éventuel lecteur intéressé.

En reformulant dans un autre contexte, je ne sais pas cuisiner mais par contre je peux vous donner des cours de cuisine si vous le voulez !
Comprends que pas grand monde dira oui.

Substitoad · June 2023

Non mais je sais calculer hein xD
J'ai été à l'université (j'avoue m'être arrêter à la compréhension des triples intégrales curvilignes dans le plan complexe, là c'était trop pour moi). C'est la syntaxe qui pose problème mais je pense que mon raisonnement est correct.

C'est encore mon droit de proposer une piste de démo pour une conjecture, quelqu'elle soit (surtout que je suis dans la bonne catégorie du forum). Et que j'apporte de la nouveauté en utilisant des matrices booléennes.

Je me suis déjà renseigné sur les résultats proches de cette conjecture!
Avez-vous ne serait-ce qu'ouvert mon PDF?

Kraw · June 2023

Oui, je l'ai ouvert mais comme dit plus haut : "Sans critiquer le niveau, c'est plutôt l'intention et le procédé qui m'interpelle." Pas vraiment besoin de rentrer dans ce monde là pour le coup.
Ce que tu évoques en "une piste de démo" devrait être une démonstration, nous ne sommes pas dans ta tête et n'avons pas ton cheminement intuitif (qui est propre à chacun).

Enfin, je trouve tes propos assez incohérents donc si tu as vraiment démontré cette conjecture j'attends (presque impatiemment) l'article dans une revue (et ce n'est pas gage de qualité) et souhaite du courage. Et merci pour ce moment comique.

lourrran · June 2023

En vrai, j'avais lu 3 ou 4 lignes de plus que ce que j'ai commenté.

Tout est brouillon.
On a A'' = ... et là, tu décomposes A'' en $\lambda$ morceaux. Comment, des morceaux de quelle taille ? il faut enquêter pour savoir où se trouve l'information.

Et on continue.
'par le théorème de Gilkinet que nous démontrerons plus bas'. Dans tout raisonnement, on démontre les résultats intermédiaires avant d'utiliser les résultats en question. Toi tu assembles les pièces du puzzle, et ensuite, quand le puzzle est fini, tu nous dis : la pièce que j'ai mis en haut, elle était bleue, couleur du ciel, et à côté, j'ai mis une pièce qui représente un nuage etc etc.

2 lignes plus bas, tu as une formule mathématique qui finit par $\forall \lambda \forall b$. Toujours le truc à l'envers, il faut mettre les 'quantificateurs' au début, et pas à la fin.

A chaque fois, tu fais le coup. Tu aurais dû nous prévenir au début, il faut lire ce document en commençant par la dernière ligne.

Mais tout ça, c'est anecdotique, sans importance.

Ce qui est important, c'est ce que dit Kraw. J'adhère totalement à son message.

Cette conjecture est connue pour être ultra-difficile. S'imaginer que ces 3 pages avec 2 ou 3 idées de collégien/lycéen/étudiant, ça fait une démonstration, c'est insultant pour Legendre et tous les mathématiciens qui ont travaillé sur le sujet.

Tu imagines vraiment que tous les mathématiciens qui se sont succédés depuis 2 siècles sont idiots au point de ne pas avoir eu l'idée d'écrire les nombres entier les uns en dessous des autres, en cochant ceux qui sont pairs, ceux qui sont multiples de 3 etc etc ????

C'est ça qui est problématique. Le fait que ton document soit d'un niveau mathématique faible, ou moyen, ou élevé, c'est secondaire. Personne ne va te reprocher de ne pas être un mathématicien brillant.
Par contre, le fait que tu imagines que tous les mathématiciens soient passés à côté d'une démonstration aussi courte, qui met en jeu des concepts aussi simples, ça c'est un très gros problème.

Substitoad · June 2023

L'astuce c'est que $\forall{j \leq n}$, avec $I_{j} \in{[2,P(j)]}$, alors $2P(n)+1 \ne I_{j} + (\lfloor \frac{2P(n)+1}{P(j)} \rfloor -1)*P(j)$ et pour $j = n+1$ on a l'inéquation $\lceil \frac{2P(n)+1}{2P(n+1)} \rceil < 2$ qui est toujours vrai.

Je n'y peux rien si personne n'y avait pensé avant

bd2017 · June 2023

S'il te plaît, essaye de corriger tes fautes. Par exemple," je n'y peux rien" prend un x et non un t.
Sinon, s'il faut dire la vérité, il faut te faire soigner. On ne passe pas treize ans de sa vie pour partir de rien et arriver à rien.

gerard0 · June 2023

Substitoad
Ton astuce, c'est du flan !

on a l'inéquation $\frac{2P(n)+1}{3P(n+1)} < 2$ qui est toujours vrai.

qui s'écrit aussi $2P(n)+1<6P(n+1)$ ce qui n'est en rien caractéristique des nombres premiers. Pour toute suite $P(n)$ d'entiers non nuls strictement croissante, on a $2P(n)+1\le 2P(n)+P(n)=3P(n)<3P(n)+3P(n) = 6 P(n)$

Autrement dit, tu as fait toute une explication avec tes $j$ et $I_j$ pour arriver à une quasi évidence ($2\times 5+1 <6\times 7$).

Appeler ça "astuce" est du même tonneau que ton lemme de Substitoad. Plus tu essaie de défendre ton texte, plus tu t'enfonces. Laisse tomber cette discussion, et applique ce que je te conseillais (et que tu aurais eu le temps de faire, en 13 ans).

lourrran · June 2023

Quand tu dis : 'Je n'y peux rien si personne n'y avait pensé avant' , moi, ce que je lis, c'est : 'Je n'y peux rien si tous les mathématiciens sont idiots au point de ne pas penser à un truc évident'.

Substitoad · June 2023

gerard0,

Le nombre de lignes de la matrice que l'on étudie est $2P(n)+1$, on constate que le nombre de booléen vrai dans la dernière colonne de cette matrice est donné par $\lceil \frac{2P(n)+1}{P(n+1)} \rceil$. Or, si $i$ est impaire alors $i \pm (2k+1)*P(n+1)$ est paire $(a_{i \pm (2k+1)*P(n+1),1}$ est vrai) donc la ligne n'est jamais une ligne dont tous ses booléens sont faux.

Par conséquent, le nombre $\lceil \frac{2P(n)+1}{2P(n+1)} \rceil$ donne le nombre de booléens vrais de cette dernière colonne qui élimine une ligne dont tous les booléens sont potentiellement faux.

Cette quantité est toujours inférieur à 2 donc il n'y a qu'un seul booléen dans cette dernière colonne qui peut éliminer potentiellement une ligne dont tous ses booléens sont faux et exactement pas plus.

Finalement, je dirai que cette quasi-évidence n'est pas la conclusion mais la solution qui prouve l'existence d'au moins deux lignes dont tous leurs booléens sont faux dans une matrice de taille $(2P(n)+1)x(n+1)$.

Substitoad · June 2023

Cas $b=2$,

$A'(2) = \begin{pmatrix}
0&0 \\
1&0 \\
0&1 \\
1&0 \\
0&0 \\
1&1
\end{pmatrix}$

$A''(2) = \begin{pmatrix}
0&1 \\
1&0 \\
0&0 \\
1&1 \\
0&0 \\
1&0 \\
0&1 \\
1&0 \\
0&0 \\
1&1 \\
0&0 \\
1&0 \\
0&1 \\
1&0 \\
0&0 \\
1&1
\end{pmatrix}$

Par le lemme, toutes les lignes de $A''(2)$ dont tous leurs booléens sont faux, sont des nombres premiers donnés par $i+P(2)^2-1$.

$\lambda \in{[0,1]}$

$A'''_{0}(2) = \begin{pmatrix}
0&1 \\
1&0 \\
0&0 \\
1&1 \\
0&0 \\
1&0 \\
0&1 \\
\end{pmatrix}$

$A'''_{1}(2) = \begin{pmatrix}
1&0 \\
0&0 \\
1&1 \\
0&0 \\
1&0 \\
0&1 \\
1&0 \\
0&0 \\
1&1
\end{pmatrix}$

Par mon théorème, il existe toujours au moins une ligne dont tous ses booléens sont faux dans $A'''_{0}(2)$ et dans $A'''_{1}(2)$.
CQFD!

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