L'ordre de convergence d'une méthode d'approximation des zéros de fonctions

Si une suite $(a_n)_{n\ge0}$ converge vers $\ell$, alors son ordre de convergence permet de caractériser le comportement asymptotique de $|a_n-\ell|$ quand $n\to+\infty$, plus spécifiquement en caractérisant la "vitesse" à laquelle chaques rangs se rapprochent successivement de $\ell$ ; en étudiant le ratio $\displaystyle\frac{|a_{n+1}-\ell|}{|a_n-\ell|^p}$ pour $p\ge1$, l'ordre de convergence de la suite étant le $p$ pour lequel le ratio tend vers une constante finie non-nulle. Pour les noms spécifiques, si $p$ est entier, la terminologie coïncide avec celle des polynômes : $p=1$ signifie que ça converge linéairement, $p=2$ signifie ordre quadratique, $p=3$ signifie cubique, etc. Évidemment, ça fonctionne que si $(a_n)_{n\ge0}$ ne converge pas en temps fini (c'est-à-dire que ça ne marche pas si $a_k=\ell$ pour un certain $k\in\mathbb N$), sinon on aurait une condition d'arrêt et surtout des divsions par zéro à foison si tu oses aller plus loin... Pas génial, t'en conviendras. As-tu besoin de davantage d'explications ?

Oui, si $p=1$ c'est une convergence linéaire. Je te conseille le polycopié de cours de M1 de Stephan De Bièvre, qui m'a quelque peu aidé en "Calcul différentiel, courbes et surfaces" et en "Analyse numérique" de mon côté, les ordres de convergence étant abordées dès la page 4 : polyM1ens.pdf (univ-lille1.fr).