Limite de suite et formule de Taylor
Bonjour
J'ai une question concernant un exercice tiré d'un concours. On considère la suite $$ U_n = \sum _{k=0}^n \dfrac{1}{k!}.$$ La question est : à l'aide de la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de la suite $U_n$.
J'ai une question concernant un exercice tiré d'un concours. On considère la suite $$ U_n = \sum _{k=0}^n \dfrac{1}{k!}.$$ La question est : à l'aide de la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de la suite $U_n$.
Je sais déterminer la limite de la suite grâce à la formule de Taylor-Lagrange (ou reste intégral). On a $\lim U_n = e$. Mais je suis pas sûr qu'on puisse conclure avec la formule de Taylor. Voilà ce que propose un corrigé (non officiel).
Soit $n \in \mathbb{N}$, la fonction $\exp$ est de classe $C^{\infty}$, on peut appliquer la formule de Taylor-Young :
$$ f(a+h) = \sum _{k=0}^n \dfrac{f^{(k)} (a)}{k!} h^k + o(h^n)$$
Appliqué avec $h = 1$ et $a = 0$ : $$\exp(1) = \sum _{k=0}^n \dfrac{1}{k!} + o(1) = U_n + o(1) $$
Et le corrigé conclut avec $ \lim$ $U_n = \exp(1)$ car le reste tend vers $0$ quand $n$ tend vers $ +\infty $.
Et le corrigé conclut avec $ \lim$ $U_n = \exp(1)$ car le reste tend vers $0$ quand $n$ tend vers $ +\infty $.
Sauf que pour moi, on n'a pas assez d'information pour conclure : on sait seulement que le reste tend vers $0$ quand $x$ tend vers $1$. On ne sait pas comment le reste se comporte quand $n$ tend vers $ +\infty $. Bon en l’occurrence, ici le reste va tendre vers $0$ quand $n \rightarrow +\infty $. Mais j'ai le sentiment que ce n'est pas toujours le cas, néanmoins je ne trouve pas de contre-exemple. Est-ce que mon intuition est juste ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Réponses
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Ce corrigé est plutôt douteux (pour rester poli).Taylor-Young me semble inutilisable pour remplacer Taylor-Lagrange.
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Donc tu veux dire Jlapin que c'est impossible de trouver cette limite avec T-Y ?Le 😄 Farceur
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Je ne mettrais pas ma main à couper mais pas loin.
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Moi non plus, je ne mettrais pas ma tête sous la potence. Tout ce qu'on dira pourrait être retenu contre nous.
Qui ose ? 😄Le 😄 Farceur -
On n'applique pas un développement limité en $h=1$ alors que $h$ représente une quantité qui tend vers zéro ! D'où provient ce « corrigé » ?
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@SkyMtn C'est une vidéo, voilà le lien https://www.youtube.com/watch?v=Ps0aoB2raDY (pour cette question précisément, c'est à partir de la 8ème minutes.
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Aie, Pour sauver sa preuve je me suicide : Si on justifie que la formule de T-Y est valable pour tout $h\in [0,1 [$, on passe d'abord à la limite quand $n\to \infty $ qui donne $o (h^ n )=h^ n \epsilon (h)\to 0$. Puis justifier le pasage à la limite $h\to 1$Le 😄 Farceur
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C'est effectivement un suicide car pour la fonction $f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}$, on a $f(h) = o(h^n)$ donc on obtient $0 < e^{-\frac{1}{h^2}} = 0$ en passant à la limite quand $n \to +\infty$.
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Mais Bibix, tu n'expliques pas le suicide dans mon raisonnement.Si on écrit les choses correctement, en fixant $a=0$, on devrait écrire : la fonction est $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ admet un développement limité en $a=0$, à tout ordre n (c 'est la formule de T.Y) , c'est-à-dire pour tout $n$, il existe une fonction $\epsilon_n$ dépendant de $n$ telle que... Ainsi, on ne peut pas conclure que $h^n\epsilon_n(h)\to 0$ quand $n\to +\infty$.Le 😄 Farceur
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Je pense qu'on est tous d'accord ici. Je cherchais seulement une preuve utilisant la formule de Taylor-Young, vu que l'énoncé l'impose. Mais, à part celle-ci, je n'en ai trouvé aucune. La "preuve" qu'il propose ne m'a pas convaincu non plus (le sujet du concours comporte une erreur donc, pas forcément surprenant).
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C'est une erreur d'énoncé. Remplacer Young par Lagrange.Je préfère ne pas faire de commentaire sur la réponse apportée dans la vidéo de correction.
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gebrane a dit :Mais Bibix, tu n'expliques pas le suicide dans mon raisonnement.Si on écrit les choses correctement, en fixant $a=0$, on devrait écrire : la fonction est $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ admet un développement limité en $a=0$, à tout ordre n (c 'est la formule de T.Y) , c'est-à-dire pour tout $n$, il existe une fonction $\epsilon_n$ dépendant de $n$ telle que... Ainsi, on ne peut pas conclure que $h^n\epsilon_n(h)\to 0$ quand $n\to +\infty$.
La formule de Taylor-Young donne seulement une information locale, pour aller au delà de $a$ il faut un contrôle explicite de l'erreur en utilisant par exemple Taylor-Lagrange ou Taylor-Laplace. On ne peut pas prendre $h$ comme ça nous arrange et remplacer un « $o$ quand $h\to 0$ » en « $o$ quand $n\to\infty$ » en mode ni vu ni connu je t'embrouille comme le fait le type de la vidéo. -
Merci sky tu m 'as fait rireLe 😄 Farceur
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