Recherche toutes les solutions

Bonjour à tous  je suis à  la recherche de tous les entiers $n,m$ tels que $pgcd(n,m)=1$ et $ n^3+m^3 \mid  n^2+20mn+m^2$
 Soit  $n,m$ tel que $pgcd(n,m)=1$  et $  n^3+m^3 \mid  n^2+20mn+m^2$  alors 
$$ n^3+m^3 \mid (m+n)( n^2+21mn-mn+m^2)=m^3+n^3+21mn(m+n)$$ donc $$ n^3+m^3 \mid 21mn(m+n)$$
donc $$ n^3+m^3=(m+n)(n^2-mn+m^2) \mid  21mn(m+n)$$   d'où $$ n^2-mn+m^2\mid  21mn$$
soit $p $  un nombre premier tel que $ p \mid n^2-mn+m^2$ alors $p\mid 21nm$  d'après Euclide $p\mid n $ ou $p\mid 21m$  si $p\mid n$  alors p diviserait m  une contradiction  donc  $p=3$ ou $p=7$
 $ n^2-mn+m^2=3$ ou $n^2-mn+m^2=7$ ou $n^2-mn+m^2=21$  $$ (n-m)^2+mn=3,(n-m)^2+mn=7$$   $$ (n-m)^2+mn=21$$
Si l'on suppose $n,m$ entier naturel 
$$  n-m \leq 1\quad\text{ou}\quad n-m\leq 2\quad\text{ou}\quad n-m\leq 4$$       on a  $n=m+1$ ou $n=m+2$ ou $ n=m+3$ ou $n=m+4$
 donc $ m=1, n=2$ ou $ m=1, n=3$,$m=1, n=5$  
J'ai  la solution $m=1, n=2$ et $n=1,m=2$ et $ m=1, n=5$ qui convient  mais je sais pas pourquoi je n'obtiens pas la solution $(1,1)$  .Pour le cas   $n,m$ sont des entiers relatifs  quelqu'un pourrait il m'aider ?