Ouvert saturé, application ouverte, projection
Bonjour
Soit $E$ un espace topologique, soit $R$ une relation d'équivalence on munit $E/R$ de la topologie quotient, on note $q$ la projection canonique de $E$ sur $E/R$, soit $A$ un ouvert saturé de $E$ ie : $A= q^{-1}(q(A)$). On note $i : A \mapsto E$ l'inclusion, on note $R_A$ la relation d'équivalence induite par $R$ sur $A$, on note $q_A : A \mapsto A/R_A$ la projection canonique. Et on note $j : A/R_A \mapsto E/R$, (une sorte d'injection entre espace quotient), l'application tel que $j \circ q_A= q \circ i$. Je n'arrive pas à montrer que $j$ est une application ouverte.
(Contexte : c'est dans le but de montrer que $j$ est un homéomorphisme entre $A/R_A$ et $q(A)$).
Avez vous une piste ? Merci pour votre attention.
Soit $E$ un espace topologique, soit $R$ une relation d'équivalence on munit $E/R$ de la topologie quotient, on note $q$ la projection canonique de $E$ sur $E/R$, soit $A$ un ouvert saturé de $E$ ie : $A= q^{-1}(q(A)$). On note $i : A \mapsto E$ l'inclusion, on note $R_A$ la relation d'équivalence induite par $R$ sur $A$, on note $q_A : A \mapsto A/R_A$ la projection canonique. Et on note $j : A/R_A \mapsto E/R$, (une sorte d'injection entre espace quotient), l'application tel que $j \circ q_A= q \circ i$. Je n'arrive pas à montrer que $j$ est une application ouverte.
(Contexte : c'est dans le but de montrer que $j$ est un homéomorphisme entre $A/R_A$ et $q(A)$).
Avez vous une piste ? Merci pour votre attention.
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Réponses
En fait dire qu'un sous-ensemble $B\subset E$ est saturé signifie simplement que pour tout $x,y\in E$, si $x\in B$ et si $x \sim_R y$ alors $y\in B$. En gros, $B$ ne "coupe" aucune classe d'équivalence : une classe d'équivalence est soit entièrement contenue dans $B$ soit n'intersecte pas $B$. Avec cette caractérisation cela devient évident ("visible" même).