Chebotarev et polynôme scindé modulo $p$

noradan · June 2023

$\def\fd{{\frak d}}\def\fa{{\frak a}}\def\fb{{\frak b}}\def\fm{{\frak m}}\def\fp{{\frak p}}\def\fP{{\frak P}}\def\ff{{\frak f}}\def\fii{{\frak i}}$$\def\a{\alpha}\let\b\beta \let\ss\subset$$\let\f\frac \let\r\sqrt$$\def\H{{\Bbb H}} \def\Z{{\Bbb Z}}\def\Q{{\Bbb Q}}\def\K{{\Bbb K}}$$\def\cD{{\cal D}} \def\cE{{\cal E}}\def\cA{{\cal A}}\def\cO{{\cal O}}$

bonjour
C'est un exercice et je n'ai pas d'idée.
$f,g\in\Z[X]$, $K_f,K_g$ sont les corps de rupture. On note $Spl(f\ ou\ g)=\{p\ {\rm premier\ tel\ que} f\ ou\ g\ {\rm totalement\ scindé}\mod p\}$.
On suppose $K_g\ss K_f$ et il faut prouver que $Spl(f)\precapprox Spl(g)$ où $\precapprox$ signifie "inclu à un nombre fini d'éléments près".
Il faut même prouver l'équivalence !
C'est un exercice à la suite du théorème de Chebotarev $\delta(S_\sigma)=\f cn$ avec $c$= cardinal de la classe de $\sigma$ et $n$ le degré de l'extension.
Je n'ai pas la moindre idée. Je sais que si $f$ est totalement scindé modulo $p$ alors $p$ l'est également dans $K_f$. Il faut sans doute prouver que les zéros de $g$ dans $K_g$ fournissent des zéros distincts de $g$ modulo $p$ mais je ne vois pas dut out comment utiliser le scindage de $f$.
Quelqu'un a-t-il une idée ?

Poirot · June 2023

Il s'agit d'utiliser judicieusement le fait suivant : $p$ (non ramifié) est totalement scindé dans $K_f$ si et seulement si son Frobenius est trivial. Cela se voit en utilisant le fait que le Frobenius en $p$ est d'ordre "$f$", le degré de l'extension résiduelle et que l'on a toujours "$efg = n$", où $e$ est le degré de ramification de $p$ dans $K_f$, et $g$ le nombre d'idéaux premiers au-dessus de $p$.

noradan · June 2023

Certes, mais mon "totalement scindé" concerne les polynômes, pas les $p$ ! (c'en est une conséquence comme je le dis dans le post)
En gros il faudrait quelque chose du genre :
"$p$ totalement scindé dans $K\Longrightarrow P$" totalement scindé" où $P$ est le polynôme minimal d'un générateur $\alpha$ de $K$.
A nombre fini de $p$ près ce résultat est vrai si l'on admet le théorème (que je n'ai lu que chez Neukirsch) qui dit que la décomposition du polynôme minimal se transfert aux $p$ pourvu que $p$ soit premier au conducteur de $\cal O_K[\alpha]$ ce qui ne n'exclut qu'un nombre fini de $p$ et du coup on a l'enchaînement ,
($f$ totalement scindé $\mod p)\Longrightarrow (p$ totalement scindé dans $K_f)\Longrightarrow (p$ totalement scindé dans $K_g)\Longrightarrow g$ totalement scindé $\mod p$ sauf nombre fini )
Ce qui me dérange c'est que dans le livre d'où j'ai sorti l'exercice ((Nancy Childress "Class Fiel Theory") ce théorème ne figure pas. Il n'y a que la version simple et classique avec ${\cal O}_K={\cal O}_F[\alpha]$

Chebotarev et polynôme scindé modulo $p$

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