Est-il possible de démontrer Syracuse avec un système binaire ?

Marcgaud · June 2023

Bonjour a tous
Voici que je me pose la question de l'utilisation du système binaire (d'où mon post dans informatique théorique) pour démontrer Syracuse.

En effet je ne suis absolument pas familier avec ce système de calcul. Reprenons en replaçant la conjecture, donc pour le moment non démontrée, de Syracuse.

(Rapide entrée en matière)

C'est une suite (3n+1)/2
si n est impair, on fait 3n+1
Si n est pair, on fait n/2
Le but étant de démontrer que tous les n (entiers naturels) tendent vers le même cycle.

Et de démontrer que se cycle est 4,2,1...

Commençons !
Nous allons admettre qu'il n'est pertinent que de s'intéresser aux nombres impairs et que le cycle que l'on cherche n'est autre que la répétition du 1.
Qu'est ce que n impair ? Un entier naturel ?

Ok donc il peut être démontré que n peut s'écrire comme la somme des puissances de 2.
Soit n = 2^k+2^k-1+...
Par exemple : 7 = 2^2+2^1+2^0
D'où le système binaire avec 1 et 0 qui le traduit.

=> 7 = {1,1,1}

La question générale est donc :
(3*7)+1 = ??

Question 1.
Faire n+1 dans le système binaire revient a inverser tous les premiers termes 1 jusqu'au premier 0 ?
Ok je saisis l'idée mais comment je démontre ce simple fait ?

Question 2.
Faire 3*n dans le système binaire a quoi correspond-il ?

Y a-t-il des groupes binaires dont on peut déduire le résultat. Comme des motifs graphiques.
Exemple : chaque groupe {1,0,1} *3 fera toujours {1,1,1,1}

Comment scinder les groupes ? Par terme avec autant de 0 que de 1 ?

Voici mes petites questions de néophytes.
Merci d'avance pour vos réponses,
Marc.

Math Coss · June 2023

Ta question semble pour l'instant porter sur les opérations en base deux plutôt que sur la conjecture de Syracuse. Les algorithmes sont les mêmes qu'en base dix, si ce n'est que l'on ne manipule que deux chiffres (ça simplifie) mais qu'il y a plutôt plus de retenues (ça complique).

Multiplier par trois, i.e. 11 en base deux, c'est multiplier par deux (10), i.e. ajouter un zéro à droite, puis ajouter le nombre de départ ; plein de retenues sans doute (dès que deux chiffres 1 se succèdent. Un exemple (sans écrire les retenues parce que c'est pénible...) : $3\times7$ devient $11\times111$ : \[\begin{array}{r}111\\11\\\hline111\\1110\\\hline10101\end{array}\]Il serait très étonnant que le fait de présenter les calculs en base deux donne un accès facile à la conjecture de Collatz.

gerard0 · June 2023

Une remarque : Les systèmes de numération (dont le binaire) sont des maths, pas de l'informatique.

Pour la question 1 : C'est clairement faux 1000+1 = 1001 (en binaire); et si n = 1100, inverser les premiers 1 donne 0000 et même en inversant le 0 suivant ça donne 0010 qui n'est pas 1101. Mais tu sembles utiliser une représentation inversée. Je reste dans l'écriture habituelle des nombres. n+1 s'obtient en inversant les chiffres à partir de la fin jusqu'au premier 0, qu'on inverse en un 1. C'est simplement l'addition habituelle avec retenue : 0+1=1 (plus de retenue). Et s'il y a un 1 à la fin, 1+1=10, on écrit 0 et on a une retenue de 1 qui modifie le chiffre précédent, et on recommence.

Pour ta question 2, tu ne peux pas négliger les chiffres "avant et après". Donc à priori aucun intérêt. Multiplier par 3=2+1 peut se faire par un décalage puis une addition.

Bon, mais tout ça ne traite pas le problème de cette conjecture. Il ne s'agit pas de calculer, il s'agit de prouver ou de trouver un contre exemple. Comme l'essai de trouver des contre-exemples par calcul a été mené très loin (jusqu'à environ 300 000 000 000 000 000 000), et qu'il n'y a aucune raison qu'en allant plus loin on trouve mieux, calculer n'est plus très utile. Cependant, tu peux t'y amuser, mais, vu tes questions, tu n'est pas un grand familier du calcul sur les très grands nombres. Même si programmer du calcul binaire sur ces nombres (donc des nombres binaires de plus de 68 chiffres) permettrait sans doute d'accélérer les calculs (c'est probablement ainsi qu'ont été faits les essais). Avec beaucoup de patience tu arriveras peut-être à tous les nombres binaires de moins de 100 chiffres. Sans contre exemple. Mais ça ne prouvera rien. S'il y a un plus petit contre-exemple qui a 10^200 chiffres, on ne le rencontrera jamais.
Cordialement.

Heuristique · June 2023

Pourquoi toujours ranger certains domaines ou notions dans une matière ou une autre, d'autant plus lorsque les protagonistes des 2 matières utilisent toutes les 2 ces notions et écrivent des articles de recherche sur le sujet ? Les bases de numération ont parfaitement leur place en informatique (je n'ai jamais dit qu'elles ne faisaient pas partie des maths). De nombreux informaticiens ont attaqué les problèmes de reconnaissance de langages en numération à travers des automates de Büchi, des problèmes de normalisation via des transducteurs, ont établi des liens entre des systèmes de numération et des constructions de structures discrètes, et j'en passe.

En revanche, je ne peux qu'approuver les remarques précédentes : changer de base de numération ne changera a priori rien au problème de Syracuse (en tout cas pas en $\beta$-numération). Il est illusoire de prétendre obtenir quoi que ce soit avec des outils aussi élémentaires. Toutefois, si tu t'intéresse aux systèmes de numération, amuse-toi, il y a plein de choses sympas !

Bibix · June 2023

gerard0 a dit :

Bon, mais tout ça ne traite pas le problème de cette conjecture. Il ne s'agit pas de calculer, il s'agit de prouver ou de trouver un contre exemple.

Ou de démontrer que c'est indécidable.

lourrran · June 2023

Démontrer que c'est indécidable, ça paraît encore plus complexe comme démarche que les 2 autres objectifs.

Marcgaud · June 2023

Merci pour vos précisions.

Gérard, en effet quand je parle de "premiers" 1 je parle de ceux de droite, des "premières" puissance de 2. En effet ce n'était pas dans le sens de lecture.
Mais si ce n'est les termes, au moins tu es d'accord avec la première question.
😂 Et non je ne vais pas m'amuser a calculer quoique se soit, la démonstration par l'absurde sera peut être faisable mais de mon côté l'idée est plutôt de donner l'explication en base deux car c'est le sujet de la conjecture : soit n est pair, soit impair et selon, l'opération change (3n+1) ou (n/2) ce qui se traduit en binaire par dire vulgairement
3n+1 = ( {1,0,1...,0,1} + {1,0,1,...,0,1,1} ) *merci M Coss et
n/2 = (la suppression de tous les 0 de "droite" donc les premières puissances de deux.)

Partant de cette représentation je trouve qu'on a beaucoup plus l'intuition que le chiffre final sera {1} et ce tant qu'il y a "effacement" des 0 dans le chiffre ce qui voudrait dire aussi que le seul n qui ne respecte pas Syracuse serait un chiffre sans 0... Donc l'infini... 😂 On est bien.

Merci Math Coss de me confirmer que les opérations en base deux et dix sont similaires la mulplication, l'addition et la division sont faisables c'est un bon début.

D'ailleurs j'aime ta représensation car on peut y voir que *3 c'est "ajouter un zéro à droite, puis ajouter le nombre de départ " (Math Coss)
On a donc un "phénomène" de "décalage" des 1
- hors 1+1 = 10 en binaire.

Important !

Ne peut on pas en déduire ce qu'il advient de {0,1...} ? De {0,1,1,...} ? Mais aussi de {...0,1} ? Et {...,0,1,...,1} ?

Et notamment en déduire que des 0 sont créés et créables sur tout l'ensemble des termes ?

Est il possible que si un chiffre s'écrivent avec plus de 0 que de 1 comme {0,0,1,0,0,1}, alors ce chiffre est condamné a faire {1} ?

Du coup y a t il un chiffre avec moins de 0 que de 1, et qui ne respecte pas notre représentation de Syracuse ?
cet infini quel coquin 😜.
Car en binaire écrire {1,0,1} et {0,0,1,0,1} c'est en fait ajouter zéro mais avec l'idée précédente c'est essentiel !

Mais en dehors de vous faire sourire je suis plutôt sérieux sur toutes mes interrogations précédentes et je ne dispose clairement pas des outils pour publier une démonstation claire et précise, c'est pour ça que je viens demander de l'aide ici 🤩👌.

Et désolé d'avoir fait polémique entre informatique et mathématiques 😂.

Intuitivement,
Marc

lourrran · June 2023

Je lisais une 'idée' récemment.
Reformuler la conjecture de Syracuse, en enlevant les divisions par $2$. Et donc, au lieu de faire $3n+1$ quand $n$ est impair, l'idée était de faire systématiquement $3n + 2^k$, avec k correctement calculé pour reproduire le fonctionnement que l'on connaît. Et de s'arrêter quand on arrive à une puissance de $2$.
Dans les faits, c'est l'idée de compter en binaire.

Toutes les idées à la portée d'un matheux 'moyen' voire 'brillant' ont été étudiées en long, en large et en travers, des milliers de fois.

Il y a 300 étudiants qui sortent de Polytechnique tous les ans. Allez, à la louche, il y a la moitié de ces gens là qui ont 'réfléchi' sur cette conjecture à un moment ou un autre, et qui ont pensé à cette idée de compter en binaire (en fait, non, ils ont réfléchi à la conjecture, et ils ont rapidement compris que compter en binaire n'aidait en rien).

gerard0 · June 2023

" l'idée est plutôt de donner l'explication en base deux car c'est le sujet de la conjecture : soit n est pair, soit impair et selon, l'opération change (3n+1) ou (n/2)", oui mais s'il est pair on se ramène à un impair, et s'il est impair, à un pair !!

"Partant de cette représentation je trouve qu'on a beaucoup plus l'intuition que le chiffre final sera {1}" ? Tu veux dire le nombre final ? L'intuition qu'on termine toujours à 1 ?? Ce n'est pas si intuitif que ça, et l'existence de suites qui augmentent fortement pendant un temps casse cette "intuition" faire 2n+n puis enlever le 0 final donne plus grand que n. Tu devrais aller voir les suites de Goodstein, ça rend très modeste sur les "intuitions" sur les nombres. En plus on utilise une représentation binaire.

" les opérations en base deux et dix sont similaires la multiplication, l'addition et la division sont faisables" Ces opérations concernent les nombres, pas leur représentation. On peut additionner, multiplier et diviser en chiffres romains (c'est pénible) ou en notation en lettres grecques (Archimède), ou même en notation babylonienne d'il y a 4000 ans.

Toutes tes questions de la fin reviennent à dire "peut-on démontrer la conjecture ?" Et n'apportent rien à une preuve éventuelle. Comme de très nombreux néophytes, tu as une idée et pas les moyens mathématiques d'en faire quelque chose. Serait-ce que tu attends qu'on trouve ton idée géniale et qu'on fasse le travail à ta place ? L'idée n'est même pas géniale, elle est trop classique (changer de base de numération est connu de tous les matheux). As-tu au moins regardé ce qui est connu, par exemple lu "la suite de Syracuse, un monde de conjectures" ?

Par contre je t'invite à aller étudier les mathématiques des entiers, de leurs représentations suivant différentes bases, et ce qui a été réalisé sur cette pénible question des suites de Syracuse.

Cordialement.

Marcgaud · June 2023

...
Je ne sais pas trop quoi vous répondre sur les non-arguments non-mathematiques.
...
Je prends note des documents cités et aussi du fait que les "intuitions" que j'évoque vous sont contradictoire.

Toujours intéressé pour de nouveaux retours 👍😁

lourrran · June 2023

Tu peux commencer par une conjecture plus simple.
Si n est impair, on calcule 5n+1 (et non plus 3n+1)
Si n est pair, on le divise par 2
Est-ce que partant de n'importe quel nombre, on arrive à 1 ?

Les arguments (ou les intuitions) que tu développes dans ce message s'appliquent aussi à cette autre suite. Et donc, si tes arguments sont solides, cette autre suite que je te propose va faire que, partant de n'importe quel nombre, on arriverait aussi à 1.

Or , pas de chance ....

gerard0 · June 2023

Il n'y a rien à répondre ... je te donne mon ressenti, qui est celui de tous ceux, habitués des forums de maths, qui ont essayé d'éclaircir la situation face à des néophytes. Et ça arrive souvent. Parfois le néophyte est tellement faible en logique et fier de son "idée géniale" que la discussion n'est pas possible. Lis quelques discussions de Shtam sur Syracuse ou sur l'hypothèse de Goldbach (il s'en ouvre une nouvelle par semaine), tu verras que tu n'es pas seul.
Cordialement.

Marcgaud · June 2023

Je note, alors changeons d'angle.

Comment faire une démonstration mathématiques ?
Par quoi commence-t-on ?
Établir un espace de travail ?
Tout ça adapté au cadre précédent bien entendu, quelles sont les questions auxquelles je dois répondre ?

Je vais réfléchir à 5n+1 mais la transformation binaire n'a pas du tout la même forme et les "groupes" de {0,1,...,1} ne répondent pas aux même caractéristiques donc a priori je dirai que selon certaines conditions il y a convergence mais les convergences sont multiples donc il y a parfois divergence ou convergence on doit pouvoir établir les conditions de convergence en fonction des "groupes"...

Bref toujours intéressé par vos conseils et méthodologies

gerard0 · June 2023

Bonjour.
Une démonstration mathématique est une "suite d'évidences" au sens où chaque nouvelle phrase est obtenue en appliquant aux hypothèses et aux propriétés démontrées (généralement à une partie d'entre elles) une règle mathématique ou logique.

Pour une propriété comme l'hypothèse de Syracuse, de la forme "pour tout entier non nul n, la suite associée termine par 1" (*) il y a deux façons principales de traiter la question :

* trouver un n dont la suite n'arrive pas à 1 (règle logique : la phrase est fausse)

* utiliser un raisonnement pour prouver soit qu'un tel n existe, soit qu'il n'en existe pas.

Dans le document que je t'ai cité, il y a des illustrations des deux méthodes, dont aucune n'a abouti. mais on y trouve des hypothèses équivalentes que tu peux regarder. Il y a aussi des éléments sur les suites analogues.
Cordialement.

(*) j'ai pris la forme où on s'arrête dès qu'on atteint 1; pour les chercheurs de cycle, pas d'arrêt.

lourrran · June 2023

Comment faire une démonstration mathématique de la conjecture de Syracuse ?

C'est une très bonne question, et les plus grands mathématiciens ont cherché, et n'ont pas trouvé. Par exemple Terence Tao. Il est considéré comme le plus grand mathématicien actuel (ou au moins sur le podium). Il y a quelques années, il a travaillé sur le sujet, pendant plusieurs mois. On considère que ses travaux ont fait avancer les résultats, mais même Tao lui-même considère que ce problème est trop difficile pour lui.

Heuristique · June 2023

Faire une preuve mathématique est un exercice qui demande un peu d'expérience, et qui s'apprend aujourd'hui en première année du supérieur. Consulter un cours de L1/sup sur la logique élémentaire et l'utilisation naïve des ensembles te permettra sûrement de découvrir comment faire une telle preuve. Je te conseille toutefois de commencer par des preuves de phrases mathématiques simples : irrationalité de $\sqrt{2}$, propriétés sur les opérations ensemblistes, caractérisation de l'injectivité de fonctions linéaires.

Bibix · June 2023

J. H. Conway a démontré qu'une généralisation naturelle de la conjecture de Syracuse est indécidable puis a dit : "Il se pourrait bien que l'indécidabilité de la conjecture de Collatz soit elle-même indécidable.".

Marcgaud · June 2023

Hello,
Petite question méthode.

Si je montre que le nombre n passe par un maximum "M" via la suite (3n+1) / 2. Cela n'implique pas de convergence ou alors si ?
- Cela supprime la divergence c'est certain puisqu'une valeur maximum est mise en évidence.

Cependant il manque de montrer que n+1 > n or cet état n'est pas vrai pour tout n, je montre juste que M > n pour tous les n suivant la transformation de syracuse...
Quelle serait la bonne piste pour utiliser ce M ?

Merci d'avance,

Marc

Bibix · June 2023

La bonne piste, c'est la définition rigoureuse des termes pour y voir plus clair. Un exemple :
On définit la suite récurrente $u_{n+1} = \begin{cases} \frac{u_n}{2} \\ \frac{3 u_n+1}{2} \end{cases}$. On suppose qu'il existe $M > 0$ et un entier $N >0$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n > N$. Alors comme $u_n$ est une suite d'entiers, on a $u_n \in \{1,2,3,4,...,M-1,M\} = [|1, M|]$ pour tout $n > N$. Ainsi, $u_{n+M} \in \{u_n, u_{n+1}, ..., u_{n+M-1}\}$ par le principe des tiroirs et le fait que la suite soit récurrente donc la suite converge vers un cycle.

123rourou · June 2023

Il y a un truc que je ne comprends pas dans cette conjecture.
À partir de :
si n est impair, on fait 3n+1
Si n est pair, on fait n/2

Comme il y a autant d'entiers pairs que d'entiers impairs, si elle converge vers 1, cela implique que dans la série $U_n$, il y a plus de nombres pairs que de nombres impairs en tout logique. Donc la convergence ne se trouve-t-elle pas dans la recette de cuisine ?

Ou comment puis-je obtenir deux ou trois nombres impairs consécutifs dans la série $U_n$ ?

Non ???

lourrran · June 2023

Il peut y avoir des cycles non triviaux.

Si tu veux t'intéresser à cette conjecture, il faut lire, lire et lire des publications sérieuses sur le sujet. Faire le tour de ce qui a été découvert, et de ce qui reste à découvrir. Il y a une semaine, tu parlais de démonstration de la conjecture, et tu ne t'es pas du tout informé sur ce qui a déjà été fait sur le sujet ????

Voici un lien de vulgarisation sur les cycles, où on explique pas à pas comment on arrive à la conclusion : il peut y avoir des cycles, on ne sait pas, mais s'il y a des cycles, ces cycles contiennent au moins 17 milliards de nombres (donc on part d'un nombre, on fait 17 Milliards de fois l'opération 3n+1 ou n/2, et éventuellement, on pourrait retomber sur le nombre de départ).

Pour trouver ce lien, j'ai simplement tapé "CNRS conjecture de Syracuse" sur mon moteur de recherche. Rien de bien original.

Tu peux aussi tout simplement lire la page wikipedia sur la conjecture de Syracuse, on y parle d'approche binaire (tu n'es pas le premier à y penser), on y donne ce résultat sur les éventuels cycles, qui ne peuvent avoir une longueur inférieure à 17 Milliards....

lourrran · June 2023

J'ajoute un lien : le Pochon & Favre. C'est un incontournable pour un francophone qui s'intéresse à la conjecture de Syracuse. Même si c'est écrit 'sans se prendre au sérieux', c'est du très solide.

123rourou · June 2023

Cela ne plaît pas à mon idée qui a déjà dû être évoquée?

Si n décroît, cela implique qu'il y a plus de divisions que de multiplications dans la suite $U_n$. Je n'ai pas vérifié, mais si je veux que cela ne converge pas, il suffit de générer plus d'entiers impairs que d'entiers pairs.

Quelque chose du style :

Si n est impair, on fait 3n.
Si n est pair, on fait n/2 + 1

Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe dans cette histoire.

gerard0 · June 2023

Voyons, 123rourou
Tu découvres les évidences que tout le monde connaît, et tu raisonnes à vide.

Ce que tu proposes n'a rien à voir avec la suite de Syracuse. des suites qui tendent vers l'infini, c'est du basique sur les suites. dans ton cas, si on part d'un impair, on multiplie indéfiniment par 3, ce qui tend de façon évidente vers l'infini ; et si n est pair, différent de 1 (*), on tombe rapidement sur un impair et c'est reparti vers l'infini. Mais ça, tout le monde s'en moque !

"Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe dans cette histoire." Oui, le sujet !!! Renseigne-toi !

Cordialement.

Dom · June 2023

Autre « raisonnement au doigt mouillé » : comme le cycle trivial est 1-2-4 on en déduit qu’on a deux fois plus de nombres pairs que de nombres impairs.

Idée vague… sans crayon… comme ça.

123rourou · June 2023

Je vais reformuler votre phrase pour une meilleure clarté : Je voulais dire simplement que puisque la suite génère plus de nombres pairs que de nombres impairs, elle n'a pas d'autre choix que de converger. Par exemple, si la suite crée autant de nombres pairs que de nombres impairs, elle ne convergera jamais, ni dans un sens ni dans l'autre. Elle tombera dans un cycle.

Par exemple ,si vous modifiez le coefficient en remplaçant le 3 par 101 ,donc

si n est impair, on fait 101n+1
Si n est pair, on fait n/2

Ici, je compensse la surdensité des nombres pairs dans la suite originale. En gros, si vous remplacez le coefficient 3 par 101, la suite ne convergera plus vers 1. Le changement du coefficient aura un impact significatif sur le comportement de la suite et peut entraîner une divergence ou une convergence vers une autre valeur. Donc cela converge vers 1 parque il y a un plus nombres pairs que de nombres impairs dans la suite $U_n$ de Syracuse, bon après hein ...

Dom · June 2023

L’argument que j’ai vu, en le cherchant bien est « en tout logique ». En existe-t-il un autre qui m’aura échappé ?

gerard0 · June 2023

Je confirme, tu raisonnes dans le vide.

Dans les entiers, il a a autant de pairs que d'impairs, mais ce qu'on fait aux uns n'est pas la même chose que ce qu'on fait aux autres. Si tu avais regardé des suites véritables, tu aurais vu que pour un pair, une fois sur 2 on le divise encore par 2, donc au total par 4, qui est plus grand que 3.

Mais comme tu n'as même pas réfléchi sérieusement, tu viens baratiner sans savoir.

Sans compter que tes raisonnements avec des "si" sont le degré 0 de la réflexion.

Commence par réfléchir avant de venir te ridiculiser ainsi.

123rourou · June 2023

Comme tout le monde constate que la suite converge vers 1, cela implique que l'on fait plus de divisions que de multiplications. Et si l'on fait plus de divisions, cela signifie qu'il y a plus de nombres pairs. Prétendre le contraire reviendrait à nier la convergence. Cela me fait penser au paradoxe de Simpson, où la corrélation est induite par un autre élément. Et nous serons probablement d'accord pour affirmer que cela nous permet pas de dire que pour tout $n$, la suite $ u_n$ a plus de nombres pairs que de nombres impairs.

Dom · June 2023

Plus de nombres pairs à quel endroit ? Dans quel ensemble ?

123rourou · June 2023

@Dom J'ai rajouté une phrase, voilà, comme cela tout le monde est content.

Bibix · June 2023

Pour la suite de Syracuse définie dans mon dernier message, on a $u_n \sim \frac{3^{m_n}}{2^{m_n+d_n}}$ où $m_n$ (resp. $d_n$) est le nombre de multiplications (resp. divisions) durant les $n$ premières étapes. Ainsi, si la suite converge, on a à peu près $m_n \approx \frac{d_n}{\log_2(3)-1}$ pour le premier $n$ tel que $u_n = 1$. Ça c'est un raisonnement heuristique mais il existe des versions rigoureuses. Mais ça ne sert à rien pour démontrer définitivement Syracuse.

lourrran · June 2023

Je résume le résonnement (j'écris volontairement résonnement et non raisonnement) :
On constate que la suite converge toujours vers 1 , donc on passe plus souvent par des nombres pairs que par des nombres impairs.
Et donc, comme il y a plus de nombres pairs, la suite converge vers 1.
CQFD.

123rourou · June 2023

@lourran Je corrige

On constate que chaque fois que la suite converge vers 1, on passe plus souvent par des nombres pairs que par des nombres impairs. Je ne dis rien de plus. Après, pourquoi il y a plus de nombres pairs, c'est une autre histoire.

Dom · June 2023

Si elle passe par $1$, alors elle contient la suite périodique $1-4-2$ à partir d’un certain rang.
On démontre qu’alors on a deux fois plus de nombres pairs que de nombres impairs dans cette suite, en moyenne.

C’est plié.

Par contre, estimer le nombre de pairs et d’impairs avant d’atteindre $1$, c’est plus embêtant.

lourrran · June 2023

Il y a plus de nombres pairs, parce que le système est 'ciblé' pour ça. Partant d'un nombre impair, on fait une certaine opération qui ne va pas donner aléatoirement un résultat pair ou impair, cette opération donne un nombre pair dans 100% des cas.
Et partant d'un nombre pair, on fait une opération qui elle est 'neutre', elle peut donner un nombre pair, ou impair, sans favoriser un ensemble ni l'autre.

123rourou · June 2023

Pour rappel
si n est impair, on fait 3n+1
si n est pair, on fait n/2.

Ensuite, on constate que chaque fois que dans la suite $U_n$ il y a un élément impair, on change la parité de l'élément $U_{n+1}$, ce qui n'est pas le cas lorsque l'élément de $U_n$ est pair. Cette disparité de traitement de la parité entraîne mécaniquement plus de nombres pairs que de nombres impairs. Je vous laisse faire les calculs, mais nous serons d'accord pour dire que le changement de parité n'est pas équivalent lorsque $U_n$ est pair ou impair et qu'il y a plus $U_n$ pairs. Donc, comme il y a plus d'entiers pairs, il y a plus de divisions et donc $U_n$ décroit. Il reste donc à comprendre pourquoi il n'y a pas d'autre cycle que 1-4-2 dans la suite $U_n$.

Dom · June 2023

oublions « Un décroît… »…
« Il reste donc à comprendre pourquoi il n'y a pas d'autre cycle que 1-4-2 dans la suite »
Est-ce un avancement sur la conjecture ?

Bibix · June 2023

Non, le fait qu'il y ait plus de divisions n'implique pas que $U_n$ soit bornée. Si on remplace $3n+1$ par $5n+1$, la suite diverge !

123rourou · June 2023

@Bilix copier/coller d'un de mes msg plus haut

si n est impair, on fait 101n+1
Si n est pair, on fait n/2

Ici, je compensse la surdensité des nombres pairs dans la suite originale. En gros, si vous remplacez le coefficient 3 par 101, la suite ne convergera plus vers 1. Le changement du coefficient aura un impact significatif sur le comportement de la suite et peut entraîner une divergence ou une convergence vers une autre valeur.

Bibix · June 2023

Oui donc en fait, tu ne sais pas pourquoi ça converge quand on prend le coefficient $3$. Il reste donc toujours à démontrer que la suite de syracuse est toujours bornée, tu n'avances pas d'un iota...

Dom · June 2023

L’argument heuristique avec « 3 » entraîne « si ça cycle alors pourquoi uniquement vers 1-4-2 ».

En effet, c’est maigre.

123rourou · June 2023

@Bilix Oui donc en fait, tu ne sais pas pourquoi ça converge quand on prend le coefficient 3.

Si, la surdensité des nombres pairs dans la suite compense l'augmentation de la valeur, en gros la multiplication par 3 n'augmente pas assez la valeur de $U_{n+1}$ pour empêcher la suite de décroître. Bon, après, pour l'unicité de la borne inférieure, je n'arrive pas à l'expliquer simplement, mais c'est lié au déséquilibre des traitements de la parité dans la suite. L'idée, c'est que pour faire un cycle, il faut un """équilibre""".

Dom · June 2023

123rourou
Es-tu conscient que tu ne fais pas de mathématiques, là ? Que toutes ces idées vagues ne font pas avancer ?

raoul.S · June 2023

Dom a dit :

Es-tu conscient que tu ne fais pas de mathématiques, là ?

D'un autre côté on est dans Shtam, donc...

Marcgaud · June 2023

Quel engouement !

Même si pour le coup je n'ai plus aucune réponse et la conversation se transforme en une sorte de débat sur la place publique...

Si je peux me permettre Rourou selon ton postulat.

Si,
il y a plus de valeurs paires P que d'impaires I alors la convergence vers 1 est "induite"...

Donc si dans Un P>I alors Un tend vers 1.

Admettons ton postulat vrai 👍.
Prenons Un avec (5n+1)/2 sur le même modèle que (3n+1)/2
On observe que P>I on devrait donc en conclure que Un converge vers 1...

Or, Un ne converge pas (pas tout le temps).
J'en déduit donc que ton postulat est faux puisque j'ai trouvé un contre-exemple.

Pour les autres il est toujours gentil de donner vos sources pour justifier que personne n'y est encore arrivé ou vos sources pour justifier que JE n'y arriverai jamais.
Après tout ces messages "d'encouragements" je pense que j'ai compris et je vous propose de laisser la place à ceux qui voudraient s'amuser comme moi à parler de cette conjecture.
L'idée de Rourou vous fait peut être frémir mais je pense que depuis 20 messages vous auriez pu simplement tenter de démontrer que son postulat n'est pas applicable, plutôt que de donner des non-arguments non-mathématiques...

Bref je suis toujours grandement intéressé pour échanger sur le sujet 😁👍.

Bibix · June 2023

123rourou : Ok, il existe bien un argument heuristique qui dit que la suite de Syracuse est probablement contractante de coefficient $\sqrt{\frac{3}{4}} < 1$ à peu près. Cet argument est presque aussi vieux que la conjecture. Mais personne ne sait le démontrer rigoureusement. Si tu ne peux pas le démontrer, alors tu ne fais que répéter en moins bien ce que tout le monde sait déjà.

Dom · June 2023

Marcgaud,
non, c’est « si ça converge vers 1, alors il y a plus de pairs que d’impairs »

123rourou · June 2023

Je n'ai pas vraiment envie de me taper un cours sur la théorie des graphes pour un problème qui ne m'intéresse pas, et donc l'importance m'échappe complètement. Après, hein à chacun sa croix Je sais pourquoi cela converge et je sais aussi pourquoi tous les entiers convergent, mais je ne sais pas avec certitude si la borne inférieure est unique. Personnellement, je vais vivre avec cette incertitude si si.

Bibix · June 2023

Rectification : Tu crois que cela converge. Mais rassure-toi, comme personne ne sait le démontrer, tout ceux qui connaissent la conjecture vivent avec cette incertitude. N'est-ce pas une bonne nouvelle ?

Marcgaud · June 2023

Oh ok c'est dans l'autre sens alors.

Si la suite converge vers 1 alors P>I 🤔🤔.

On pourrait dire que c'est implicite à la création du cycle 1-4-2-1-4-2...
Donc projeté à l'infini en effet P>I avec certitude.

En effet alors Rourou a raison dans ce sens 👍.

Mais je suis d'accord que cela ne montre pas que le cycle est unique ni si le nombre n auquel je pense tend vers ce cycle.

Est-il possible de démontrer Syracuse avec un système binaire ?

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