Ouvert saturé, application ouverte, projection

Barjovrille · June 2023

Bonjour
Soit $E$ un espace topologique, soit $R$ une relation d'équivalence on munit $E/R$ de la topologie quotient, on note $q$ la projection canonique de $E$ sur $E/R$, soit $A$ un ouvert saturé de $E$ ie : $A= q^{-1}(q(A)$). On note $i : A \mapsto E$ l'inclusion, on note $R_A$ la relation d'équivalence induite par $R$ sur $A$, on note $q_A : A \mapsto A/R_A$ la projection canonique. Et on note $j : A/R_A \mapsto E/R$, (une sorte d'injection entre espace quotient), l'application tel que $j \circ q_A= q \circ i$. Je n'arrive pas à montrer que $j$ est une application ouverte.
(Contexte : c'est dans le but de montrer que $j$ est un homéomorphisme entre $A/R_A$ et $q(A)$).

Avez vous une piste ? Merci pour votre attention.

raoul.S · June 2023

Les ouverts de $A/R_A$ sont du type $q_A(O)$ avec $O$ un ouvert saturé de $A$. Donc $j(q_A(O))=q(O)$ mais $O$ est également un ouvert saturé de $E$ (immédiat car $A$ est un ouvert saturé), donc $q(O)$ est ouvert et par suite $j(q_A(O))$ est ouvert.

Thierry Poma · June 2023

@Barjovrille : bonsoir. Tout ouvert dans $A$ et saturé pour $R_A$ est la trace (...)

Barjovrille · June 2023

Merci pour vos réponse, j'avais bien l'égalité $j(q_A(O))=q(O)$ il me manquait le truc immédiat

$O$ ouvert saturé de $E$.

La démo de $O$ ouvert saturé de $E$ c'est : ?

Soit $A$ un ouvert saturé de $E$, et $O$ ouvert saturé de $A$ . Alors il existe un ouvert $U$ de $E$ tel que $O=U\cap A$. Montrons que $q_A^{-1}(q_A(U\cap A)=q^{-1}(q(U \cap A))$.

Soit $x \in q_A^{-1}(q_A(U\cap A)$, alors il existe $z \in U\cap A$ tel que $q_A(x)=q_A(z)$, on a $x \in A$ (car dans l'image réciproque par $q_A$) $z \in A$ et $x \sim_{R_A} z$ donc $x \sim_R z$, donc $q(x)=q(z)$ et $z \in U\cap A$ donc $q(x) \in q(U\cap A)$ et donc $x \in q^{-1}(q(U \cap A))$.

D'où la première inclusion.

Soit $x \in q^{-1}(q(U \cap A))$ alors il existe $z \in U\cap A$ tel que $q(x)=q(z)$. En particulier $z \in A$ donc $q(x) \in q(A)$ donc $x \in q^{-1}(q(A))$ or $q^{-1}(q(A))=A$ par saturation donc $x \in A$, on a $x \sim_R z$ et $(x,z) \in A^2$ donc $x \sim_{R_A} z$.

Donc $q_A(x)=q_A(z)$ comme $z \in U\cap A$ alors $q_A(x) \in q_A(U\cap A)$ donc $x \in q_A^{-1}(q_A(U\cap A)$ d'où la deuxième inclusion.

Comme $O$ est un ouvert saturé de $A$ on a alors $O=q_A^{-1}(q_A(O))= q_A^{-1}(q_A(U\cap A)=q^{-1}(q(U \cap A))= q^{-1}(q(O))$ d'où $O$ est un ouvert saturé de $E$.

C'est bon ou il y avait une démo plus directe ?

@Thierry Poma ta phrase complète c'est tout ouvert dans $A$ et saturé pour $R_A$ est la trace sur $A$ d'un ouvert saturé pour $R$ ? Si oui est ce que tu peux me donner la démonstration ou une piste de cette propriété ?

raoul.S · June 2023

Barjovrille a dit :

Merci pour vos réponse, j'avais bien l'égalité $j(q_A(O))=q(O)$ il me manquait le truc immédiat $O$ ouvert saturé de $E$.
La démo de $O$ ouvert saturé de $E$ c'est : ...

oui vu comme ça effectivement... 😅

En fait dire qu'un sous-ensemble $B\subset E$ est saturé signifie simplement que pour tout $x,y\in E$, si $x\in B$ et si $x \sim_R y$ alors $y\in B$. En gros, $B$ ne "coupe" aucune classe d'équivalence : une classe d'équivalence est soit entièrement contenue dans $B$ soit n'intersecte pas $B$. Avec cette caractérisation cela devient évident ("visible" même).

Barjovrille · June 2023

Ah oui c'est plus facile avec cette définition, merci !

Thierry Poma · June 2023

$\newcommand{\quot}[2]{#1/\requ{#2}}\newcommand{\prjc}[3]{#1:#2\to\quot{#2}{\requ{#3}}}\newcommand{\requ}[1]{\mathbf{#1}}$

@Barjovrille : bonjour.Soit $E$ un ensemble et $\requ{R}$ une relation d'équivalence sur $E$. Soit $\left(\quot{E}{R},\,\prjc{\varphi}{E}{R}\right)$ le quotient usuel (il en existe d'autres) associé à cette relation d'équivalence. Soit $A$ une partie de $E$. Nous disons que $A$ est $\requ{R}$-saturée si\[\left(x\in{}A\text{ et }\requ{R}(x,\,y)\right)\Rightarrow{}y\in{}A\]ce qui revient au même de dire que la relation $x\in{}A$ en le symbole de variable $x$ est compatible avec la relation $\requ{R}$. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :