Logarithme complexe
Bonjour,
Je me demande s'il est possible de trouver une partie E ds l'ensemble des complexes, stable pour la multiplication et le passage à l'inverse, contenant au moins un point non isolé, et sur laquelle on pourrait définir une fonction logarithme qui soit continue sur E et transforme les produits en somme.
Il faudrait bien sûr éviter le cercle unité et par conséquent E ne pourrait contenir deux éléments de même module...
Merci à celui/celle qui pourrait m'éclairer...
Je me demande s'il est possible de trouver une partie E ds l'ensemble des complexes, stable pour la multiplication et le passage à l'inverse, contenant au moins un point non isolé, et sur laquelle on pourrait définir une fonction logarithme qui soit continue sur E et transforme les produits en somme.
Il faudrait bien sûr éviter le cercle unité et par conséquent E ne pourrait contenir deux éléments de même module...
Merci à celui/celle qui pourrait m'éclairer...
Réponses
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Eh bien, $\R^{+*}$ ?
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Une spiral bien choisie.
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Prenons par exemple la spirale $S=\{e^{\theta+i\theta} / \theta\in\mathbb{R}\}$. Cette spirale est stable pour la multiplication et l'inverse. Cependant, il faut vérifier si nous pouvons définir un logarithme sur cette spirale, malgré le fait qu'elle coupe l'axe des réels des deux côtés.
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Effectivement, on peut définir sans ambiguïté la fonction logarithme suivante : $\log\left(e^{\theta+i\theta}\right)=\theta+i\theta$. Il y a une bijection de $S$ dans $\mathbb{R}$.
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J'aime la simplicité de l'exemple de MC. pourquoi veux-tu compliquer L2M? pour paraitre profond?Le 😄 Farceur
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Ce que je trouve compliqué et profond, c'est ton message.@dazeg connaît probablement l'exemple de M.C. Je pense qu'il cherche quelque chose de plus important derrière sa question, donc je lui ai offert une deuxième option. La prochaine fois, je vais m'efforcer de fournir des réponses simples et directes
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Je préfère la simplicitéLe 😄 Farceur
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L2M On reparle lorsque l'OP va expliquer ce qu'il veut exactement. Pour le moment la réponse de MC est sur mesureLe 😄 Farceur
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Merci, Gabu. La question maintenant devient intéressante .
Peut-être C sauf la demi-droite des réels négatifs peut faire l 'affaire?
Edit non.Le 😄 Farceur -
J'adhère à l'idée de la spirale 😊 mais il me semble qu'il faudrait que teta soit de la forme pi×a×r où a designe un irrationnel fixé et r parcourt l'ensemble des rationnels (on évite ainsi les exp(iteta)pouvant donner 1 une fois élevé à la puissance n ce qui poserait un problème pour le log mais on garde en même temps la stabilité pour × et le passage à l'inverse. Bref, on pourrait peut-être tt simplement considérer les exp(r+ri) où r designe un rationnel quelconque. Maintenant, je me demande s'il serait possible de donner une "épaisseur" à cette spirale, voire de trouver un ensemble E, dense ds C, sur lequel tt cela serait possible?? 🤔
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Oui GaBuZoMeu, ensemble E ne serait effectivement pas ouvert...
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Pour avoir un ensemble non ouvert et dense, on peut voir l'ensemble des spirales $S_x=\{e^{x+y+i(x+y)} / y\in\mathbb Q\}$ où $x\in\mathbb Q$.
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Il existe des déterminations du logarithme sur tout ouvert simplement connexe de $\mathbb C$. En particulier sur le complémentaire d'une spirale d'Archimède (par exemple).
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Il me semble que les Sx désignent tous la même spirale...
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Tout à fait. Et si on prend les spirales $S_x=\{e^{x+y+iy} \mid y\in\mathbb Q\}$.
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Cela reviendrait à considérer les nombres de la forme exp(r)exp(ai) où a et r sont des rationnels quelconques. Le problème c'est que les exp(ni), avec n entier naturel, formant une partie dense dans le cercle unité, on pourrait trouver par exemple (r=0 et a=1) une suite (a(n)) d'entiers tendant vers +infini avec exp(a(n)i) qui tend vers exp(i) alors que le log vaudrait a(n)i d'où discontinuité au point exp(i).
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Peux tu donner un exemple de cette suite $(a_n)$.
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Z+2piZ est un sous groupe additif de R non discret donc dense , on montre que 0 est non trivialement adhérent à N+2ipiZ puis que N+2ipiZ est dense dans R , comme 2pi irrationnel , si (an)+2pi(bn) -> 1 , la suite d'entiers an ne peut être bornée (sinon valeur d'adhérence , extraction , contradiction ). La suite (an) tend vers + infini , on peut peut-être expliciter un exemple avec des fractions continues mais je ne connais pas.
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On utilise la densité des exp(ni) sur le cercle unité.
Notons A le point d'affixe exp(i).
Alors pour tout entier naturel n, il existe un entier a(n) supérieur à n tel que, M(n) désignant le point d'affixe a(n)i, la longueur de l'arc du cercle unité AM(n) soit inférieure à 1/n. La suite des exp(a(n)i) tend vers exp(i) alors que les a(n) tendent vers +infini. -
On voit bien que tous les cercles créent un problème de discontinuité. Alors, pourquoi ne pas retirer toutes les spirales circulaires et considérer l'union des spirales $e^{r/p} e^{r i}$, où $r\in \mathbb Q$ et $p\in \mathbb N^*$. Ainsi, on évite la divergence de la suite $a_n$, qui sera cette fois obligatoirement une suite convergente de nombres rationnels.
La spirale se resserre davantage à mesure que $p$ augmente. Toutes les spirales passent par $I(1;0)$.
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Oui, je vais revoir mon histoire de suite sur le cercle....
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Puis c'est bien ça, ce sont les M(n) qui tendent vers A mais cela prouve bien qu'il y a discontinuité au point d'affixe A. En revanche, je ne pense pas que le même problème se pose pour tous les cercles.
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L'union des spirales exp(r/p)exp(ri) n'est pas stable pour la multiplication
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Oui.
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