Nombres idoines d'Euler et théorème des 2 carrés de Fermat

francoiswolf · June 2023

Bonjour
Ma question est la suivante.

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Je suis perplexe sur la cohérence des nombres idoines d'Euler et du théorème des deux carrés de Fermat.

La définition d'un nombre idoine donnée par Euler est la suivante : un entier naturel non nul n est idoine si tout entier impair q qui peut s'écrire d'une manière unique sous la forme $displaystyle qx2ny2$ , avec x et y naturels, est premier et si x et ny sont alors premiers entre eux. Euler a démontré que pour chaque nombre idoine, il y avait une infinité de nombres premiers générés.

Le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (autrement dit tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique.

Si c'est vrai, alors tout nombre n qui est un carré devrait être un nombre idoine, non ?

Or les seuls carrés idoines sont 1,4,9,16,25.

Quels sont les éléments qui me manquent pour comprendre la cohérence de ces deux résultats ?
Merci par avance pour vos réponses.

Poirot · June 2023

En relisant calmement ce que tu dis (je ne connaissais pas la définition de nombre idoine), tout ce que le théorème des deux carrés dit est que $1$ est idoine.

francoiswolf · June 2023

Oui, mais avec $x^2+y^2$ on peut facilement dire avec $y=n*z$ que la formule $x^2+n^2*z^2$ génère des nombres premiers avec x et y des valeurs uniques au signe près. Donc toutes les valeurs $n^2$ sont des nombres idoines.

Poirot · June 2023

Qu'est-ce qui te dit que l'on peut choisir $y = nz$ ?

francoiswolf · June 2023

Les variables $x$ et $y$ sont des entiers naturels. Leurs valeurs parcourent l'ensemble des entiers naturels comme indiqué dans les théorèmes.

De plus, il a été démontré que $x^2+n*y^2$ génère une infinité de nombres premiers quelle que soit la valeur $n$ positive (Cf livre de COX Primes of the form $x^2+n*y^2$)

De plus, le théorème de Hecke dit que pour tout nombre réel $R$ arbitrairement grand, il existe une infinité de nombres premiers $p$ de la forme $p=x^2+y^2$, où les entiers $x$ et $y$ vérifient $x/y>R$

Soit $p=x^2+(n*z)^2$ un nombre premier, selon le théorème de Fermat, il n'y a qu'une seule forme possible. Mais si on prend les nombres idoines, $n$ ne peut pas prendre n'importe quelle valeur si l'on veut une seule forme possible de décomposition en deux carrés.

D'où mon questionnement au sujet des nombres $x$ et $y$ impairs dans la formule $p=x^2+4^m*y^2$.

Poirot · June 2023

Ok je pense que je vois le problème. Même s'il existe des nombres premiers $p$ de la forme $x^2+n^2y^2$, pour lesquels $\{|x|, |y|\}$ est effectivement unique, en quoi sais-tu que tout entier impair de la forme $x^2+n^2y^2$ avec $\{|x|, |y|\}$ unique est un nombre premier ? Cela n'a aucune raison d'arriver.

francoiswolf · June 2023

Non, c'est l'inverse. Tout nombre premier de la forme $x^2+y^2$ se décompose en deux carrés de manière unique. C'est le théorème de Fermat. Ce n'est pas moi qui le dis. Le théorème de Hecke dit qu'il existe une infinité de nombres premiers du type $x^2+n^2*y^2$.

Pour moi, ce n'est pas cohérent avec les nombres idoines. Donc, je cherche à comprendre où est mon erreur dans la compréhension des théorèmes.

La deuxième question concerne les nombres idoines. Si on a un nombre limité de valeurs possibles, alors $x$ et $y$ devraient être impairs dans la formule $x^2+4^m*y^2$ et même $x^2+2^m*y^2$. D'où ces formules généraient bien une infinité de nombres premiers avec $x$ et $y$ impairs. Sinon, où est mon erreur ?

Merci.

Poirot · June 2023

Ta compréhension des théorèmes est bonne, c'est ta compréhension de la définition de nombre idoine qui ne l'est pas. Quand bien même il existe une infinité de nombres premiers de la forme $x^2+n^2y^2$ avec de plus une écriture unique, ça ne prouve absolument pas que $n^2$ vérifie la définition de nombre idoine "tout entier impair qui s'écrit de manière unique sous la forme $x^2+n^2y^2$ est premier".