Thèse, enseignement, affectation

@Kraw : attention aux idées reçues : pour un certifié qui exerce dans le privé, tu ne choisis pas ton affectation modulo des entretiens avec des chefs d'établissement. Par ailleurs, dans l'enseignement privé catholique sous contrat, il te faut obtenir un "accord préalable" d'une commission qui examine la question de ton entrée.
À côté de ce que zestiria décrit, j'ajoute que niveau charge mentale, se retrouver sous la tutelle d'un institut de formation, d'un collègue tuteur et d'un chef d'établissement, le tout sous l’œil surplombant de Sauron d'un rectorat, cela m'a laissé peu de place pour penser à autre chose. 

Bonjour, 
Bon, je vais plutôt te souhaiter un bon courage puisque la décision est prise ! 
En attendant que quelqu'un qui a vécu des choses similaires te donne des détails, je veux juste te dire qu'il me semble malheureusement très peu probable que ton statut de thèse (financée ou non) soit pris en compte pour les affectations liées à l'année de stage : comme tu n'es pas en report de stage, tu devrais être comme tous les autres stagiaires de France soumis aux aléas des affectations. 
Tu peux jouer sur les points liés au concours, une situation familiale et personnelle (PACS, handicap, enfants, ..), ton lieu d'habitation, etc ... mais il n'y a pas de raison que l'éducation nationale favorise cette activité faite sur ton temps libre. 
L'autre problème (mais chaque chose en son temps) sera effectivement l'année suivant ton stage, car si tu restes dans le public tu devras de nouveau participer aux mouvements inter-académiques (cette fois-ci avec encore plus de concurrence). Mais je crois comprendre que tu envisages de glisser vers le privé pour éviter ça peut-être ?

Je te souhaite de me tromper, et j'espère que quelqu'un viendra apporter plus d'espoir que moi (voire des précédents favorables, ce serait encourageant, mais j'y crois peu).

Lors de ta thèse, tu n'auras aucune aide de la part de l'EN, cela est certain.
L'affectation de stage dépendra de ton classement au capes, et des académies que tu demandes.
Si tu n'as pas de chance tu n'auras peut-être pas l'académie dans laquelle tu effectues ta thèse (arrivé à quelques connaissances qui ont eu l'agreg de maths ces dernières années, alors que pourtant l'agrégation offre un bonus de points).
L'affectation une fois titulaire dépend de grilles de points, et tu commences au plus bas en tant que néotitulaire.

Un point important à garder à l'esprit est qu'en général tu n'as aucune visibilité pour savoir si une chose que tu envisages à l'EN est plutôt possible ou non (tout ce qui est académie/poste/classes/emploi du temps, ainsi que détachement/disponibilité/congé de formation/temps partiel) car les données des années précédentes sont lacunaires ou totalement absentes. Tu n'as aucune garantie que les choses iront dans ton sens ou non, ce qui contraint beaucoup à avoir des plans de secours.

Par exemple, si tu avais obtenu le CAPES 2022 et que tu étais stagiaire cette année (et si tu es célibataire sans enfant), les académies accessibles étaient :
Créteil, Versailles, Guyane, Orléans-Tours (si stagiaire là-bas), Amiens (si stagiaire là-bas et si assez âgé)
Toute autre académie française n'aurait pas été obtenue (cf https://www.education.gouv.fr/cartes-des-resultats-des-mouvements-interdepartemental-et-interacademique-donnees-generales-274397 ), et tu aurais dû patienter plusieurs années à accumuler des points pour obtenir l'académie que tu désires (en général sans muter à l'intérieur de l'académie initiale pour accumuler les points plus vite). Cette attente va grosso-modo de 1 an à 20 ans.
Par exemple, pour obtenir l'académie de Strasbourg en 2023 il fallait 114 points, qui demandent 3 ans d'attente (en plus de l'année de stage). Ta thèse serait déjà sur sa fin que tu n'aurais pas eu l'opportunité d'avoir une affectation proche de ton université.

Mais la gestion des mouvements inter-académiques est très irrégulière ces dernières années et rien ne garantit que l'accessibilité d'une académie donnée n'empirera pas au cours des années (en mathématiques la mobilité s'est fortement compliquée, comme dans pas mal d'autres matières d'ailleurs).

Bien entendu des stratégies comme le pacs blanc ou le concours de catégorie C existent pour assurer un peu les choses et changer d'académie plus vite, mais tu n'auras peut-être pas l'opportunité ou l'envie de le faire.

Après le mouvement inter-académique vient le mouvement intra-académique, où là aussi les néotitulaires ont la vie dure et vont principalement obtenir des postes loin des grandes villes (celles-là même qui ont les universités où l'on fait des thèses) ou bien pas de poste fixe (et être TZR). Dans les académies franciliennes on obtient un poste fixe, mais ailleurs on commence en général TZR pour au bout de quelques années obtenir un premier poste fixe, pour ensuite patienter encore quelques années et obtenir un poste fixe plus près de la zone qui nous intéresse.
En tant que certifié tu n'aurais aucun avantage pour quoi que ce soit afin de pouvoir obtenir plutôt un lycée qu'un collège, au cas où tu aurais envisagé cela.

Toutes mes connaissances agrégées de mathématiques qui sont arrivées dans une académie non francilienne récemment (pour se rapprocher de la zone qui les intéresse) ont commencé comme TZR, leur petit bonus de points pour les vœux lycées n'y aura rien fait (ni même le rapprochement de conjoint pour l'une, car la majorité des entrants avait elle aussi un rapprochement de conjoint).

Pour l'établissement de stage tu auras peut-être plus de marge de manœuvre, je ne sais pas comment les rectorats effectuent les placements avec le nouveau capes (qui est placé en priorité, comment sont choisis les postes stagiaire 9h/18h, comment la chose est équilibrée ensuite).

Comme il te l'a été dit, il vaut mieux pour toi ne jamais parler de ta thèse, et faire le dos rond. Si on te dit que telle pratique pédagogique semble intéressante, réponds qu'en effet elle pourrait être très intéressante avec un air enjoué et curieux. Tu n'as rien à gagner à ne pas te conformer aux grandes idées auxquelles on t'exposera, et tout à perdre (ta titularisation est entièrement entre les mains de personnes qui peuvent décider de la jeter à la poubelle pour un oui ou pour un non).
De même, ne demande pas à effectuer des vacations en université ou des colles, c'est en général très mal vu (et la demande de cumul est en général refusée).
Le précepte étant : si tu as autant de temps libre c'est que tu dois être un prof exceptionnel -> tu n'es pas un prof exceptionnel -> tu bâcles donc ton travail pour une autre activité -> tu es un très mauvais prof qui ne prend pas sa formation pleinement au sérieux

Pour la transition public-> privé sous contrat, cela est possible via détachement.
Pour les CPGE privées sous contrat je ne sais pas exactement s'il s'agit de mise à disposition ou de détachement, mais de toute façon sans l'agrégation tu ne rentres pas dans ce cas de figure.
Pour un détachement dans le privé sous contrat en tant que certifié titulaire, cela peut se faire à condition :
- qu'il y ait un poste qui t'intéresse sur lequel aucun certifié du privé n'est retenu (dossier non retenu ou bien enseignant qui a obtenu un meilleur vœu)
- que le chef de l'établissement en question consente à te prendre
- que ton académie d'origine accepte ta demande de détachement
Ceci modulo un gros tas de procédures (faire le pont entre le rectorat du public d'origine et le rectorat du privé d'arrivée, et éventuellement obtenir quelques autres autorisations).

Il faut peut-être aussi 2 ans d'ancienneté effective comme titulaire pour pouvoir obtenir une telle demande de détachement (c'est le cas pour les détachements en lycée militaire ou pour les détachements à l'étranger).
Sachant qu'un bon nombre de rectorats refuse d'emblée toute demande de détachement/mise à disponibilité, si tu n'es pas dans la "bonne" académie tes chances de muter par cette voie seraient fortement compromises. Les rectorats de Créteil et Versailles sont connus pour refuser les détachements/disponibilités (indiqué par le jury de l'agreg au sujet de l'entrée dans le métier).
Il y a 2 ans on m'avait refusé une demande de disponibilité à Versailles en indiquant que je n'avais pas effectué 3 années d'enseignement dans l'académie. Des collègues ont eu cette année eux-aussi un refus pour leur demande de disponibilité dans cette académie, mais l'affichage du refus est maintenant sur Colibris et le motif n'est plus indiqué (ils ne savent même pas pourquoi on leur a refusé leur demande).

Ce genre de détachement arrive tellement peu qu'une partie des personnels des rectorats te dira que cela n'existe pas, que ce n'est pas possible. Il faudra bien entendu ressortir les textes officiels pour leur montrer que si, cela est possible et leur expliquer intégralement ce que tu attends d'eux pour progresser dans cette démarche.

Tu as mentionné le CAFEP dans un de tes messages. Si tu peux être directement titulaire dans le privé sous contrat, la chose sera plus simple puisque tu entreras dans le mouvement du privé. Il te sera alors plus simple de revenir vers la ville où tu effectuerais ta thèse.

Un élément non évoqué par les autres membres au sujet de la thèse en parallèle des cours, et auquel on ne pense pas trop avant de s'y lancer, est que les emplois du temps assez étalés d'enseignants (encore plus d'un certifié, encore plus actuellement) font que tu n'auras à priori aucun moyen pour assister aux groupes de travail et séminaires de ton laboratoire de recherche, et que tu ne pourras assister qu'aux conférences se déroulant durant des vacances scolaires.
Une connaissance s'est retrouvée dans cette situation (démarrer une thèse en parallèle de son année de stage). Elle a pu rester tout du long dans l'académie où elle faisait sa thèse, et pas trop éloignée de son université. Même avec cela elle n'a pas eu le temps de faire un état de l'art propre durant son année de stage, ni durant sa première année de TZR, ni vraiment d'avancer pendant sa 2e année. Justement car pas possible de participer avec l'équipe, de rencontrer le maître de thèse régulièrement, de se focaliser sur le thème de recherche très poussé. Plusieurs années se sont écoulées depuis et ladite thèse n'a pour le moment pas été soutenue (je ne sais pas ce qu'il en est devenu).

Sur ce point, l'élément que j'aimerais avancer est justement le côté personnel.
Cette thèse ne t'apportera virtuellement rien dans ta carrière (sauf si tu deviens agrégé ensuite voire que tu tentes un poste de prce, et encore l'utilité est très très limitée), et tu es dans une situation où celle-ci te demanderait bien plus d'efforts qu'à un thésard lambda à cause de contraintes supplémentaires.
En plus de cela tu ne pourrais pas profiter des situations qu'ont les doctorants, tu serais plutôt isolé et avec un travail extrêmement sporadique (et avec un risque de ne pas avancer du tout, donc de ne pas vraiment finir).
Penses-tu trouver du plaisir à cela ?
Entre cette situation et disons d'autres alternatives (réaliser une thèse après avoir une mutation convenable, voire tenter une disponibilité que tu prolonges et faire une thèse avec une bourse), est-ce que le jeu en vaudrait la chandelle à tes yeux ?
Si dans 3 ans tu en es à un point où ta vie professionnelle est compliquée car surchargée et où ta vie doctorante est purement stagnante, je ne vois personnellement pas le plaisir/bonheur que tu tirerais de cela. En notant aussi qu'il ne te resterait plus énormément de temps ni d'énergie pour ta vie personnelle (familiale, amoureuse, etc)
Si tu te lances dans ce projet, fais vraiment attention à chaque écueil que tu pourrais rencontrer et anticipe les mauvaises situations (plans B, plans C, etc).

@Kraw : Cela n'a malheureusement rien d'étonnant. A la base, une thèse c'est un tremplin pour devenir chercheur de haut niveau, pas professeur de secondaire. Ces deux carrières n'ont au départ rien à voir même si les choses changent vu la démultiplication du nombre de thèses.