Grand O
dans Analyse
Bonjour , svp pourquoi si on a Un=k/n^2+o(1/n^2) c’est équivaut à dire Un=O(1/n^2) ? avec k>0 et n dans N*
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Réponses
Parce-que c'est faux : $\frac{(-1)^n}{n^3} = O(\frac{1}{n^2})$.
L'implication est vraie par contre car $n^2\frac{k}{n^2} \leqslant k$ et $o(\frac{1}{n^2}) = O(\frac{1}{n^2})$ (si $n^2 u_n \to 0$ alors $n^2 u_n$ est borné).
Svp c’est quoi la définition de grand O par laquelle tu as pu en déduire que o(1/n^2)=O(1/n^2) donc y a pas de différence entre les deux ou quoi ???
Quand tu poseras des questions sur ce que tu as obtenu en utilisant la définition, ce sera plus sérieux.
$\dfrac{k}{n^3}+o(\dfrac{1}{n^3})=\dfrac{1}{n^3} (k+o(1)) = \dfrac{1}{n^3} O(1)=O(\dfrac{1}{n^3})$.
Car $o(\dfrac{1}{n^3})=\dfrac{1}{n^3}o(1)$, car $o(1)$ est une suite qui tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, et tu peux écrire ceci pour toute puissance de $n$, positive ou négative, tu vois comme c'est facile.
Et pareil pour $O$.
Et $k+o(1)$ est une fonction bornée (toujours quand $n \to +\infty$), qui s'écrit $O(1)$.
Merci énormément !!
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Je sais très bien que je ne peux même pas faire ça et passer au équivalent (1/n) et déduire la nature de la série mais je veux comprendre les applications de ce grand O ..
Je m’excuse pour ce dérangement, mais ça m’échappe des choses intrigantes …
Prenons la suite nulle : pour tout entier naturel $n$, $u_n=0$.
Mes profs n’ont jamais parlé, ni expliqué, ni donné des propriétés pour le grand O ; on travaille tjrs toujours avec les petits o et c’est fini pour eux, donc c’est moi qui doit faire leur travail en étant autoformateur et chercher de l’information …
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Par exemple, MÉFIANCE, sur ce qui suit :
$o(1/n)=o(1/n^2)$
L’une de ces égalités est fausse et l’autre vraie (dans l’acception que je me refuse à écrire en général car génère des erreurs).