Montrons qu'une suite est entière
Bonsoir à tous, je dois montrer qu'une suite définie par $x_n=cx_{n-1}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n-1}^2-1)}\ ,n\geq 1$ avec $x_1=c$ est entière si et seulement si $c$ est un entier. J'ai essayé sans succès. J'avais voulu montrer que $\forall p $ entier premier $v_p(x_n-cx_{n-1})\geq 0$. Quelqu'un a-t-il une approche ?
Mots clés:
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
On peut facilement montrer que $x_n = T_n(c)$, où $T_n$ est le $n-$ième polynôme de Tchebychev de première espèce.
T_{n+1}^2(c)&=2cT_n(c)T_{n+1}(c)-c^2-T_n(c)^2+1&\text{donc}\\
( 2cT_n(c)-T_{n-1}(c))^2&=2cT_n(c)( 2cT_n(c)-T_{n-1}(c))-c^2-T_n(c)^2+1\\
4c^2T_n(c)^2-4cT_n(c)T_{n-1}(c)+T_{n-1}(c)^2&=4c^2T_n(c)^2-2cT_n(c)T_{n-1}(c)-c^2-T_n(c)^2+1\\
T_n^2(c)&=2cT_n(c)T_{n-1}(c)-c^2- T_{n-1}^2(c)+1
\end{align*}
4(T_n^2(\cos x)-1)(\cos^2x-1)&=4\sin^2(x)\sin^2(nx)=( \cos(n-1)x-\cos(n+1)x)^2=(T_{n-1}(\cos x)-T_{n+1}(\cos x))^2\\
T_{n+1}(\cos x)&=T_{n-1}(\cos x)+2\sqrt{T_n^2(\cos x)-1)(\cos^2x-1)}\\
2 x_{n+1}&=2cx_{n}+2\sqrt{(x_n^2-1)(x^2-1)}\\
2 x_{n+1}-T_{n+1}(c)&=2cx_{n}-T_{n-1}(c)+2(\sqrt{(x_n^2-1)(c^2-1)}-\sqrt{T_n^2(c)-1)(c^2-1)}
\end{align*}
Si $c \leqslant -1$, on montre facilement que $(x_n)$ alterne entre les valeurs $c$ et $2c^2-1$ et l'égalité $x_n=T_n(c)$ n'est pas vérifiée pour $n \geqslant 3$.
Si $c=0$, la suite n'est pas définie.
Si $c \geqslant 1$, on a clairement $x_n > 0$ pour tout $n\in\N^*$. On peut alors montrer que $x_n=T_n(c)$ pour tout $n\in\N^*$ de la manière suivante.
On vérifie l'égalité pour $n\in\{1,2\}$.
Soit un entier $n \geqslant 1$. On suppose que $x_n=T_n(c)$ et $x_{n+1}=T_{n+1}(c)$. On peut remarquer que l'égalité $(x_{n+1}-cx_{n})^2=(c^2-1)(x_{n}^2-1)$ implique que $x_{n}$ est racine du polynôme $X^2-2cx_{n+1}X+x_{n+1}^2+c^2-1$ donc $x_{n}$ vaut $cx_{n+1} - \sqrt{(c^2-1)(x_{n+1}^2-1)}$ car $x_{n+1} \geqslant cx_{n} \geqslant x_{n}$ (puisque $c \geqslant 1$). Dès lors,
\begin{align*}
T_{n+2}(c)&=2cT_{n+1}(c)-T_{n}(c)=2cx_{n+1}-x_{n} \\
&=2cx_{n+1}-\left(cx_{n+1} -\sqrt{(c^2-1)(x_{n+1}^2-1)}\right) \\
&=cx_{n+1}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n+1}^2-1)} \\
& = x_{n+2}
\end{align*}
ce qui montre le résultat par récurrence.
On pose $P(n) : "x_n = \begin{cases} T_n(c) \text{ si } c > 1 \\ 1 \text{ si } c \in [-1,1] \text{ et } 2 \mid n \\ T_2(c) \text{ si } c < -1 \text{ et } 2 \mid n \\ c \text{ sinon} \end{cases}"$.
$n = 1$ : $x_1 = c$ donc $P(1)$ est vraie.
$n \geq 2$ : on suppose $P(n-1)$. On obtient $x_n = \begin{cases} c T_{n-1}(c) + \sqrt{(c^2-1)(T_{n-1}(c)^2-1)} \text{ si } c > 1 \\ c \text{ si } c \in [-1, 1] \text{ et } 2 \not\mid n \\ c \text{ si } c < -1 \text{ et } 2 \not\mid n \\ 2 c^2-1 = T_2(c) \text{ si } c < -1 \text{ et } 2 \mid n \\ 1 \text{ si } c \in [-1,1] \text{ et } 2 \mid n\end{cases}$. Or $(X^2 - 1)(T_{n-1}^2 - 1)(\cos(x)) = \sin^2(x) \sin^2((n-1)x) = \sin^4(x) U_{n-2}^2(\cos(x))$ pour tout $x \in \R$ avec $U_{n-2}$ le $(n-2)-$ième polynôme de Tchebychev de seconde espèce. On a alors $(X^2-1)(T_{n-1}^2-1) = (X^2-1)^2 U_{n-2}^2$ or $U_{n-2}(1) = \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin((n-1) x)}{\sin(x)} = n-1 > 0$ et toutes les racines de $U_{n-2}$ sont dans $[-1,1]$ (car son degré est $n-2$ et $U_{n-2}(\cos(\frac{k \pi}{n-1})) = 0$ pour tout $1 \leq k \leq n-2$). On en déduit que $U_{n-2}(c) > 0$ pour tout $c > 1$ donc $\sqrt{(c^2-1)(T_{n-1}(c)^2 - 1)} = (c^2-1) U_{n-2}(c)$. Pour $c > 1$, on a donc $x_n = c T_{n-1}(c) + (c^2-1) U_{n-2}(c) = T_n(c)$ car $(X T_{n-1}+(X^2-1)U_{n-2})(\cos(x)) = \cos(x) \cos((n-1)x) - \sin(x)\sin((n-1)x) = \cos(n x) = T_n(\cos(x))$.
Soit la propriété $P_n$: $x_n\in \mathbb{Z}$ et $\exists m\in\mathbb{N},, x_n^2-1=(c^2-1)m^2$. Bien sûr, m dépend de n.
$P_1$ est vraie car $x_1=c\in \mathbb{Z}$ et $x_1^2-1=(c^2-1)1^2$.
Supposons $P_n$ vraie, alors $x_{n+1}=cx_n+|c^2 -1| m\in \mathbb{Z}$. Il reste à montrer que $x_{n+1}^2 -1=(c^2-1)M^2$.
Avec un calcul facile, on trouve si $|c|\geq 1$ que $x_{n+1}^2 -1=(c^2-1)(cm+x_n)^2$, et si $|c|\leq 1$, que $x_{n+1}^2 -1=(c^2-1)(cm-x_n)^2$
Je me place dans le cas où $c>1$ et je démontre la relation $x_{n+1}=2cx_n-x_{n-1}$ à partir de la définition $x_n=cx_{n-1}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n-1}^2-1)}$. Comme $x_{n+1}>cx_n$ et $cx_n>x_{n-1}$ on a :
\begin{align}x_{n+1}=2cx_n-x_{n-1}&\Leftrightarrow ( x_{n+1}-cx_n)^2=(cx_n-x_{n-1})^2\\ &\Leftrightarrow (c^2-1)( x_n^2-1)=(cx_n-x_{n-1})^2\\ &\Leftrightarrow x_n^2+x_{n-1}^2-2cx_nx_{n-1}+c^2-1=0\\ &\Leftrightarrow (x_n-cx_{n-1})^2=(c^2-1)( x_{n-1}^2-1)\end{align}
C'est bien vérifié par définition de la suite. Comme $x_0=1$ et $x_1=c$ entier on en déduit que $x_n$ est entier pour tout $n$ (bien sûr on retrouve la relation de récurrence des polynômes de Tchebychev).