Suites de la forme $U_{n+1}=f(U_n)$

Mar0wwa · June 2023

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Bonjour pour tout le monde, une petite question quant à cette proposition, est-ce que c'est obligatoire d'ajouter que I est fermé ? Et pourquoi ?
Merci pour votre aide.

DeGeer · June 2023

Il faut que $\ell \in I$, pour s'assurer que $f(\ell )$ a bien un sens.

gerard0 · June 2023

Donc pas besoin que I soit fermé dans ce théorème, puisque $\ell\in I$ est une des hypothèses.
Cordialement.

Math Coss · June 2023

De plus, comme l'hypothèse $\ell\in I$ figure dans les hypothèses, il n'est pas nécessaire de supposer que $I$ est fermé.

Comme la limite d'une suite convergente à valeurs dans un [intervalle] fermé appartient à ce[t intervalle] fermé, on pourrait remplacer l'hypothèse « $\ell\in I$ » par « $I$ est fermé ». L'hypothèse de la proposition est plus générale mais on peut retenir pour les exercices que si $I$ est un segment et $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors ($\ell\in I$ et) $f(\ell)=\ell$.

L2M · June 2023

En pratique, il est souvent donné une suite dont les termes appartiennent à un intervalle ouvert $]a, b[$ ($\forall n, a < u_n < b$). Afin de satisfaire la condition $\ell \in I$, il est nécessaire de passer à la limite et de fermer l'intervalle, c'est-à-dire appliquer le théorème à l'intervalle fermé $[a, b]$.

Math Coss · June 2023

Non Monsieur : il est suffisant de fermer l'intervalle mais c'est beaucoup demander puisque la limite n'a pas de raison d'être au bord a priori.

L2M · June 2023

... et comment montre-t-on que $\ell \in ]a,b[$, alors que nous ne connaissons pas cette limite ?

plsryef · June 2023

...lire la première hypothèse.

L2M · June 2023

Quelle hypothèse et quel est le rapport ?

plsryef · June 2023

f(I) est dans I autrement dit l est dans ]a,b[ ,mais bon si ça se trouve je ne comprends pas et bon...

peu importe, dis moi en quoi cette idée t'induit en erreur.

JLapin · June 2023

Cette discussion tourne un peu en rond, à la manière de $u_{n+1} = \lambda u_n (1-u_n)$ pour certaines valeurs de $\lambda$...

@Mar0wwa
L'énoncé que tu nous envoies est correct.

L2M · June 2023

Tout le monde sait que c'est correct, même @Mar0wwa.

@Mar0wwa trouve des difficultés concernant son application dans des exercices.

Je crois qu'elle cherche un exemple d'exercice pratique où on peut utiliser ce théorème sur un intervalle ouvert de la forme $I=]a;b[$, si c'est possible.

Dom · June 2023

Parfois le mot « intervalle » est mal compris.

Il y a huit « sortes » d’intervalle, ils ne sont pas tous des segments (c’est à dire comme [6;8]).

L2M · June 2023

Exercice.
On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par :
$u_0 = -\frac{5}{4}$ et $u_{n+1} = (u_n + 2)^2 - 2$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.
1- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $-2 < u_n < -1$.
2- Montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ est décroissante. En déduire qu'elle est convergente.
3- Calculer $\lim u_n$.

Pour répondre à la dernière question, en utilisant la proposition, on est obligé d'utiliser soit l'intervalle fermé $[-2,-1]$, soit un autre intervalle bien choisi le contenant, mais pas l'intervalle ouvert $]-2,-1[$.

JLapin · June 2023

L2M a dit :
@Mar0wwa trouve des difficultés concernant son application dans des exercices.
Je crois [...]

Puisqu'on émet des hypothèses sur le sens profond de la question initiale, voici ma proposition.

Jje pense que Mar0wwa a sous les yeux deux théorèmes. Celui qui nous a été communiqué et un autre, dans un autre ouvrage ou dans son cours manuscrit, qui parle d'intervalle fermé.

Comme les énoncés ne sont pas identiques, il n'a plus les idées très claires et vient donc poser cette question un peu mystérieuse.

bisam · June 2023

Pour répondre à la question 3 de l'exercice de @L2M, on peut très bien se contenter des questions précédentes : la suite $u$ est décroissante et minorée par $-2$ donc elle converge et sa limite $\ell$ est supérieure ou égale à -2. Si $\ell$ était différent de $-2$, ce serait un point fixe de $f:x\mapsto (x+2)^2-2$ situé dans $\left]-2,u_0\right]$, ce qui n'existe pas. Par conséquent $\ell=-2$.