Quadrilatère complet : un peu plus que Ménélaüs

% Gipsyc - 03 Juin 2023 - Quadrilatère complet : un peu plus que Ménélaüs

% Soit un quadrilatère convexe complet ABCD+MN
% Montrer que:
% (BC CD) / (MC CN) = (AB AD) / (AM AN)
% (BC CD - MC CN)^2 = (BM BN CM CN DM DN) / (AM AN)

% si le quadrilatère est cyclique avec les deux diagonales internes 
% AC et BD se coupant en un point E, nous pouvons rajouter
% (BC CD) / (BA AD) = AE/EC

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clc, clear all, close all

syms a b c

aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;  % Conjugués (Morley circpnscrit)

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syms d dB % Un point quelconque

[pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB);
[pcd qcd rcd]=DroiteDeuxPoints(c,d,cB,dB);
[m mB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,pcd,qcd,rcd);
[n nB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-b-c,pad,qad,rad);

% (BC CD) / (MC CN) = (AB AD) / (AM AN) ?

BC2=(c-b)*(cB-bB); CD2=(d-c)*(dB-cB); MC2=(c-m)*(cB-mB); CN2=(n-c)*(nB-cB);
AB2=(b-a)*(bB-aB); AD2=(d-a)*(dB-aB); AM2=(m-a)*(mB-aB); AN2=(n-a)*(nB-aB);
X=(BC2*CD2)/(MC2*CN2); Y=(AB2*AD2)/(AM2*AN2);
NulXY=Factor(X-Y) % Égal à 0, donc c'est gagné.

% (BC CD - MC CN)^2 = (BM BN CM CN DM DN) / (AM AN) ?

BM2=(m-b)*(mB-bB); CM2=(m-c)*(mB-cB); DM2=(m-d)*(mB-dB); 
BN2=(n-b)*(nB-bB); DN2=(n-d)*(nB-dB); 
DoubleProduit2=Factor(4*BC2*CD2*MC2*CN2); 
% On trouve:
DoubleProduit2=4*(a-c)^4*(b-c)^4*(c-d)^2*(c*dB-1)^2*(a+c-d-a*c*dB)^2/(c^4*(a*b-c*d+c^2-a*b*c*dB)^2*(a*d-b*c-a^2+a*b*c*dB)^2);
% Donc:
DoubleProduit=-2*(a-c)^2*(b-c)^2*(c-d)*(c*dB-1)*(a+c-d-a*c*dB)/(c^2*(a*b-c*d+c^2-a*b*c*dB)*(a*d-b*c-a^2+a*b*c*dB));
% On vérifie:
NulDouble=Factor(DoubleProduit2-DoubleProduit^2)
Z=BC2*CD2+MC2*CN2-DoubleProduit;
T=(BM2*BN2*CM2*CN2*DM2*DN2)/(AM2*AN2);
NulZT=Factor(Z^2-T) % Égal à 0, donc c'est gagné.

% Si le quadrilatère est cyclique
% (BC CD) / (BA AD) = AE/EC ?
% NON !! C'est (BC CD) / (BA AD) = EC/AE !!

dB=1/d;  % Pour que ABCD soit cyclique
[e eB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*c,-a-c,1,b*d,-b-d);
% On trouve e=(a*b*c-a*b*d+a*c*d-b*c*d)/(a*c-b*d)
BA2=(a-b)*(aB-bB); AE2=(e-a)*(eB-aB); EC2=(c-e)*(cB-eB);
CD2=(d-c)*(dB-cB); AD2=(d-a)*(dB-aB);
U=Factor((BC2*CD2)/(BA2*AD2)-EC2/AE2) % Égal à 0, donc c'est gagné.