Groupe symétrique
Réponses
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Si $(a_1\;a_2\cdots a_n)$ est un cycle et $\sigma$ une permutation alors $\sigma (a_1\;a_2\cdots a_n) \sigma^{-1}=(\sigma(a_1)\;\sigma(a_2)\cdots \sigma(a_n))$.
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Soit $\sigma$ une permutation de $\mathfrak{S}_6$ qui commute avec $(1 \ 2 \ 3) \circ (4 \ 5 \ 6)$
Notons $\rho=(1 \ 2 \ 3) \circ (4 \ 5 \ 6)$
Alors $ \rho \sigma= \sigma \rho$ soit $\boxed{\rho= \sigma \rho \sigma^{-1}}$
Il y a une astuce ici, c'est d'utiliser : $\rho=( \sigma (1 \ 2 \ 3) \sigma^{-1} ) (\sigma \circ (4 \ 5 \ 6) \sigma^{-1})$
Il suffit de calculer $\sigma(i)$ pour tout $i \in [|1,6|]$.
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Tu cherches $\sigma_1 \in \mathfrak S_6$ tel que $\sigma_1 \sigma \sigma_1^{-1} = \sigma$. Or $\sigma_1 \sigma \sigma_1^{-1} = \sigma_1 (1 \, 2 \, 3) \sigma_1^{-1} \sigma_1(4 \, 5 \, 6) \sigma_1^{-1}$. Je te laisse continuer, avec l'indication de JLT.
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On aura donc
$\sigma = (\sigma_1(1) \sigma_1(2) \sigma_1(3)) (\sigma_1(4) \sigma_1(5) \sigma_1(6))$.
Est-ce que cela veut dire que $\sigma_1(1)=1,\ \sigma_1(2)=2$. Que signifie $\sigma_1(i)$ avec $i \in \{1,2,3,4,5,6\}$ ? -
Non à ta première question.À ce stade, tu dois chercher à utiliser la partie unicité dans le théorème de décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints.
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Dans ce théorème, on nous dit que la décomposition en cycle est unique à l'ordre près.
Cela signifie que l'on a
$(1 2 3)= (\sigma_1(1) \sigma_1(2) \sigma_1(3))$ et $(4 5 6)= (\sigma_1(4) \sigma_1(5) \sigma_1(6))$
ou
$(1 2 3)= (\sigma_1(4) \sigma_1(5) \sigma_1(6))$ et $(4 5 6)= (\sigma_1(1) \sigma_1(2) \sigma_1(3))$
mais après ? -
Après, tu énumères tous les cas possibles.
N'oublie pas la phase de synthèse. -
déjà, on peut avoir :
$\sigma_1 =(1 2 3 4 5 6 )$
$\sigma_1 =(3 1 2 4 5 6 )$
$\sigma_1 =(2 3 1 4 5 6 )$Au total 9 possibilités dans le premier cas...
Ainsi de suite...? -
Présente plutôt $\sigma_1$ comme produit de deux trois cycles : c'est plus clair à suivre.Par ailleurs, tu devrais réfléchir au cas d'égalité de deux trois-cycles $(a,b,c)$ et $(d,e,f)$.
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N.B. Il y a exactement 9 solutions en tout.Edit : erreur j'en ai oublié la moitié.
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Suite à vos conseils, les solutions semblent être :$(123)\circ(456)$$(312)\circ(456)$$(231)\circ(456)$$(123)\circ(645)$$(312)\circ(645)$$(231)\circ(645)$$(123)\circ(564)$$(312)\circ(564)$$(231)\circ(564)$Les autres cas donneraient les permutations en commutant les cycles or des compositions de cycles à supports disjoints commutent. Cela donnerait les mêmes permutations.Merci.
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Tu n'as pas vérifié que ces 9 permutations fonctionnent pour finir complètement l'exercice.
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C'est à dire vérifier qu'elles commutent bien avec $(1 2 3) \circ (4 5 6) $?
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oui
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Non, pas que!
Tu nous expliques la différence entre (123) et (312)?
Pourquoi le carré de l'élément en question $(132) \circ (465) $ ou l'identité ne sont pas dans le lot alors que l'ensemble des solutions doit être un sous-groupe? (pourquoi c'est un sous-groupe? Aussi)
Sinon tu es complètement passé à côté de $(14)\circ (25) \circ (36) $ (ou de deux autres éléments qui peuvent jouer le même rôle).
Personnellement, je crois qu'il n'y a que 18 éléments. -
Je crois que l'OP a quelques problèmes avec les écritures des cycles.
Sinon, vu la phase d'analyse effectuée, j'ai plutôt l'impression qu'il y a 9 solutions. -
Pour info
En message privé, on m'a envoyé :
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Si on revient à la méthode d'énumération, qu'est-ce que il y a de raté ?
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Quand tu écris (3,1,2), tu penses à quelle permutation ?Edit : je me suis embrouillé tout seul, désolé !!Pour l'énumérationDans le chaque cas, tu choisis $\sigma_1(1)$ et $\sigma_1(4)$ et les autres valeurs sont imposées : 9 possibilités.Tu as donc 9*2 = 18 possibilités.
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Pour le cas
$(1 2 3)= (\sigma_1(4) \sigma_1(5) \sigma_1(6))$ et $(4 5 6)= (\sigma_1(1) \sigma_1(2) \sigma_1(3))$
on peut avoir
$(1 4) \circ (2 5) \circ (3 6)$
$(1 5) \circ (2 6) \circ (3 4)$
$(1 6) \circ (2 4) \circ (3 5)$il y en a 6 autres que j'ai du mal à écrire. -
Soient $a=(1 2 3)$, $b=(4 5 6)$ et $c=(1 4)(2 5)(3 6)$ (j'avais oublié $c$ dans mon message précédent).
Les 18 permutations $a^kb^\ell c^m$ pour $k,\ell\in \{0,1,2\}$ et $m\in\{0,1\}$ commutent avec $ab$.Edit : faute de frappe corrigée suite à la remarque de math65 ci-dessous. -
Disons qu'il vaut mieux avoir une méthode qui se généralise. Soient $a=(a_1\cdots a_r)$ et $b=(b_1\cdots b_r)$ deux $r$-cycles à supports disjoints dans $\mathfrak{S}_{2r}$. Soit $c=(a_1 b_1)\cdots (a_r b_r)$. Alors le commutant de $ab$ est $\{a^kb^\ell c^m\mid 0\leqslant k,\ell\leqslant r-1,\; 0\leqslant m\leqslant 1\}$.SI $\sigma_1$ est une permutation qui commute avec $ab$, soit elle conserve les supports de $a$ et $b$, soit elle les échange. Quitte à remplacer $\sigma_1$ par $\sigma_1\circ c$, on se ramène au premier cas.
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Compliqué tout ça.
@JLT je crois que tu en as noyé plus d'un.
Comment on fait pour dénombrer les $18$ cas à partir du :
$( \sigma(1) \ \sigma(2) \ \sigma(3) ) =(1 \ 2 \ 3)$ et $( \sigma(4) \ \sigma(5) \ \sigma(6) ) =(4 \ 5 \ 6)$ ou $( \sigma(1) \ \sigma(2) \ \sigma(3) ) =(4 \ 5 \ 6)$ et $( \sigma(4) \ \sigma(5) \ \sigma(6) ) =(1 \ 2 \ 3)$ ?
Je trouve $6 \times 6+ 6 \times 6$.
$3$ choix pour $\sigma(1)$, $2$ pour $\sigma(2)$ et $1$ pour $\sigma(3)$ donc $3 \times 2 \times 1=6$ choix. -
Vérifie...
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J'ai compris mon erreur de dénombrement.Quand on a $(\sigma(1) \ \sigma(2) \ \sigma(3) )=(1 \ 2 \ 3)$ :Il y a $3$ choix par $\sigma(1)=i$, il y a deux choix pour $\sigma(2)$ mais le cas cas $\sigma(i)=1$ redonne la même permutation et il reste $1$ choix pour $\sigma(3)$.
Ce qui donne $3 \times 3+ 3 \times 3=9+9=18$ cas.
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Rien compris mais laisse tomber.
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J'aimeras savoir si on peut démontrer qu'il y a forcément $18$ cas en utilisant des techniques de dénombrement, et sans avoir besoin de les exhiber.
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On peut aussi faire agir le groupe $\mathfrak{S}_6$ par conjugaison sur l'ensemble $X$ des produits de deux $3$-cycles à supports disjoints.L'action est transitive, et l'ensemble $X$ a pour cardinal $5\times 4\times 2=40$ (*) et le stabilisateur d'un élément de $X$ a pour cardinal $|\mathfrak{S}_6|/|X|=720/40=18$.Explication pour (*) : pour déterminer une permutation $(a b c)(d e f)$, on choisit l'image de $1$ (5 choix), puis encore l'image de cet élément (4 choix). Il reste à former un $3$-cycle sur les $3$ éléments restants, il y en a deux possibles.
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@JLT
Ok merci mais j'en suis au chapitre 2 du livre et les actions de groupe arrivent dans le dernier chapitre, le 5. Mais normalement, je devrais étudier les actions de groupe très prochainement.
D'ailleurs j'ai acheté ce livre pour le groupe symétrique et les actions de groupe.
Ok merci pour le $40$ j'ai compris, je ne raisonnais pas en terme d'image, c'est pour ça que je n'y arrivais pas.
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