Rang d'un endomorphisme cyclique
Bonjour
Soit $u$ un endomorphisme cyclique d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
En notant $P:=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\mathbb K[X]$ le polynôme de la matrice compagnon $\mathrm{Comp}(P)$ associée, comment montrer simplement que $\mathrm{rg}(u)\in\{n-1,n\}$ et plus précisément que :
Déjà, $\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}(\mathrm{Comp}(P))$.
Comme $I_{n-1}$ est une sous-matrice inversible de $\mathrm{Comp}(P)$, on a $\mathrm{rg}(u)\geqslant n-1$.
Puis :
Soit $u$ un endomorphisme cyclique d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
En notant $P:=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\mathbb K[X]$ le polynôme de la matrice compagnon $\mathrm{Comp}(P)$ associée, comment montrer simplement que $\mathrm{rg}(u)\in\{n-1,n\}$ et plus précisément que :
- $\mathrm{rg}(u)=n\iff a_0\neq 0$ ;
- $\mathrm{rg}(u)=n-1\iff a_0=0$.
- Il existe $x\in E$ tel que $(u^{k}(x))_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ est une base de $E$ ;
- Il existe $x\in E$ tel que $E_{u,x}:=\mathrm{Vect}\left((u^{k}(x))_{k\in\mathbb N}\right)=E$ ;
- Il existe une base $\mathcal B$ de $E$ et une famille $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant n-1}\in\mathbb K^n$ tels que $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)=\mathrm{Comp}(P)$ avec $P:=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k X^k$.
Déjà, $\mathrm{rg}(u)=\mathrm{rg}(\mathrm{Comp}(P))$.
Comme $I_{n-1}$ est une sous-matrice inversible de $\mathrm{Comp}(P)$, on a $\mathrm{rg}(u)\geqslant n-1$.
Puis :
- Si $a_0=0$ alors la première ligne de $\mathrm{Comp}(P)$ est nulle donc $\mathrm{rg}(u)\leqslant n-1$. D'où $\mathrm{rg}(u)=n-1$.
- Si $a_0\neq 0$ alors comme $P$ est aussi le polynôme caractéristique de $\mathrm{Comp}(P)$, donc aussi de $u$, et qu'il annule $u$ par Cayley-Hamilton et qu'il est donc de valuation nulle, en isolant le terme $a_0\mathrm{Id}_E$ et multipliant par $a_0^{-1}$, on voit que $u$ est inversible donc $\mathrm{rg}(u)=n$.
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Réponses
$I_{n-1}$ est une matrice carrée extraite inversible de taille $n-1$, donc $\mathrm{rg}(u) \geqslant n-1$. Si $a_0 = 0$, clairement $\mathrm{rg}(u) =n-1$.
Sinon, il est visible que les lignes forment une base de $\mathbb K^n$ : s'il faut l'écrire, les opérations élémentaires $ L_j \leftarrow L_j - \frac{a_j}{a_0} L_1 $ et $L_1 \leftarrow L_1/(-a_0)$, conduisent à la de permutation $\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $ qui est clairement inversible ($J^n = I_n$, ou en développant le déterminant selon la dernière colonne...)
On peut difficilement faire plus court à mon avis, il faut quand même un minimum d'arguments pour arriver au résultat (tout dépend à qui on s'adresse et du niveau de détails nécessaires à rédiger)
J'en profite car j'ai une autre question sur ces fameux endormorphismes cycliques.
Je note $C_u$ et $M_u$ les polynômes caractéristique et minimal de $u$ qui est pour rappel un endomorphisme cyclique.
On sait déjà que $C_u=P$ le polynôme compagnon de la matrice compagnon associée.
Je sais alors montrer que $P$ est aussi égal à $M_u$, en vérifiant que $P(u)=0$ puis que $P$ est effectivement le polynôme unitaire de plus bas degré annulant $u$ (dû à la liberté de $(\mathrm{Id}_E,\dots, u^{n-1})$...).
Apparemment il y a un autre chemin que je n'arrive pas à établir, à savoir montrer que $M_u=P$ à partir de $\mathcal C(u)=\mathbb K[u]$ (égalité entre le commutant de $u$ et l'ensemble des polynômes en $u$, que je sais par ailleurs établir). Comment procédez-vous ?
Bien sûr, $\mathrm{dim}\:\mathbb K[u] \leqslant n $ (puisque $\chi_u(u) = 0$ donc $u^n \in \mathrm{Vect}(\mathrm{Id},...,u^{n-1})$)
Donc $\mathrm{dim}\:\mathbb K[u] = \mathrm{dim}\:\mathcal C(u) = n$. Or $\mathrm{deg} \:\pi_u =\mathrm{dim}\:\mathbb K[u] = n = \mathrm{deg} \: \chi_u $ : comme $\pi_u \mid \chi_u$ et puisqu'ils sont unitaires, $\pi_u = \chi_u$.
(Il est plus standard de noter $\chi_u,\pi_u$ les polynômes caractéristique et minimal de $u$)
Plus généralement, on a équivalence entre
(i) $u$ est cyclique
(ii) Il existe $x_0\in E$ tel que $(x_0,...,u^{n-1}(x_0))$ soit une base de $E$
(iii) $\mathbb K[u] = \mathcal C(u)$
(iv) $\pi_u = \chi_u$
(v) La famille $(\mathrm{Id},...,u^{n-1})$ est libre
(vi) La matrice de $u$ dans une base est une matrice compagnon
(vii) Les sous-espaces propres de $u$ sont de dimension 1
On peut montrer que si $u$ est cyclique alors l'ensemble $\mathcal S_u$ des sous-espaces stables par $u$ est fini. On le fait en utilisant un élément $x$ de $E$ tel que $E=E_{u,x}$ et en vérifiant que l'application qui à un idéal $I$ contenant $M_u$ associe $\{P(u)(x)\mid P\in I\}$ est bijective à valeurs dans $\mathcal S_u$, et le résultat tombe car $M_u$ admet un nombre fini de diviseurs unitaires.
Les différentes sources que j'ai vues disent que la réciproque est aussi vraie lorsque $\mathbb K$ est infini, ça se montre bien avec le lemme de réunion finie de sous-espaces stricts.
J'ai lu quelque part que la réciproque reste vraie si $\mathbb K$ est fini mais ça n'est pas démontré. Est-ce qu'il y a moyen de le justifier simplement ?
Du coup, on a en toute généralité : $u$ cyclique si et seulement si l'ensemble de ses sous-espaces stables est fini.
@Math Coss est-ce que mon assertion : "$u$ cyclique si et seulement si l'ensemble de ses sous-espaces stables est fini" est correcte ?